Lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Linear abhängig oder unabhängig??
V= alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 4 ; [mm] v_{1} [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - x + 1 ; [mm] v_{2} [/mm] = [mm] x^3 [/mm] + x +2 ; [mm] v_{3} [/mm] = 3 ; [mm] v_{4} [/mm] = [mm] x^4 [/mm] - 2x |
Wie geh ich an so eine Aufgabe ran? Das ist ja nicht so die typische Form eines Vektors.
Danke schön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Do 13.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Linear abhängig oder unabhängig??
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> V= alle Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 4 ; [mm]v_{1}[/mm] = [mm]x^4[/mm] - x + 1 ;
> [mm]v_{2}[/mm] = [mm]x^3[/mm] + x +2 ; [mm]v_{3}[/mm] = 3 ; [mm]v_{4}[/mm] = [mm]x^4[/mm] - 2x
> Wie geh ich an so eine Aufgabe ran? Das ist ja nicht so
> die typische Form eines Vektors.
>
> Danke schön!
Überprüfe (wie bei "gewöhnlichen" Vektoren), ob
[mm]v_{1}[/mm] = [mm]x^4[/mm] - x + 1 als Linearkombination der anderen 3 Terme darstellbar ist.
Gibt es also 3 reelle Zahlen r, s und t mit
[mm]v_{1}[/mm] = [mm]x^4[/mm] - x + 1= r*([mm]x^3[/mm] + x +2 ) +s* 3 [mm] +t*(x^4 [/mm] - 2x) ?
Gruß Abakus
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Und was mache ich dann weiter?
Darf ich hierbei ausmultiplizieren? Wenn ich das machen, kann ich doch gar nicht mehr zusammenfassen?
Oder muss ich dann raten?
r*($ [mm] x^3 [/mm] $ + x +2 ) +s* 3 $ [mm] +t\cdot{}(x^4 [/mm] $ - 2x)
Dann bleibe ja noch übrig:
3s = 0
damit ist s = 0
dann hab ja noch
[mm] rx^3 [/mm] + rx + 2r = 0
Mein r muss 0 sein, damit die Gleichung aufgeht.
Ist das soweit richtig?
Wie beurteile ich die dritte Gleichung?
[mm] tx^4 [/mm] - 2x = 0
Wenn ich t und x gleich Null setze, geht das auf. Darf ich das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Do 13.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Und was mache ich dann weiter?
> Darf ich hierbei ausmultiplizieren?
Du darst nicht. Du musst. Anschließend ordnest du nach Potenzen. Man erhält
[mm] t*x^4 +r*x^3 [/mm] +(r-2t)*x + (2r+3s)
Lassen sich nun r, s und t so wählen, dass das [mm] x^4 [/mm] - x + 1 ergibt?
> Wenn ich das machen,
> kann ich doch gar nicht mehr zusammenfassen?
> Oder muss ich dann raten?
>
> r*([mm] x^3[/mm] + x +2 ) +s* 3 [mm]+t\cdot{}(x^4[/mm] - 2x)
>
> Dann bleibe ja noch übrig:
>
> 3s = 0
>
> damit ist s = 0
>
> dann hab ja noch
> [mm]rx^3[/mm] + rx + 2r = 0
> Mein r muss 0 sein, damit die Gleichung aufgeht.
>
> Ist das soweit richtig?
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> Wie beurteile ich die dritte Gleichung?
> [mm]tx^4[/mm] - 2x = 0
> Wenn ich t und x gleich Null setze, geht das auf. Darf ich
> das?
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$ [mm] t\cdot{}x^4 +r\cdot{}x^3 [/mm] $ +(r-2t)*x + (2r+3s)
Das ist doch nicht schon daraus ersichtlich, wie ich meine r,s,t wählen muss, oder?
Ich würde ja sagen, dass das nicht geht.
Damit das [mm] rx^3 [/mm] weg geht, muss ich ja für r = x^-3 rechnen, aber dann haut das ja mit der Klammer nicht mehr hin, oder?
Also gibt es da nichts. Demnach kann ich für alle drei nur die Null einsetzen, damit ist es linear unabhängig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Do 13.11.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]t\cdot{}x^4 +r\cdot{}x^3[/mm] +(r-2t)*x + (2r+3s)
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> Das ist doch nicht schon daraus ersichtlich, wie ich meine
> r,s,t wählen muss, oder?
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> Ich würde ja sagen, dass das nicht geht.
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> Damit das [mm]rx^3[/mm] weg geht, muss ich ja für r = x^-3 rechnen,
Wieso denn? Da kein [mm] x^3 [/mm] da ist, musst du in [mm] r*x^3 [/mm] für r Null einsetzen.
Weil du vorn [mm] x^4 [/mm] (also [mm] 1*x^4) [/mm] hat, muss t=1 gelten. Der Widerspruch kommt beim x, weil du mit diesem t und diesem r hier -2x erhalten würdest, was nicht rauskommen darf.
Aus diesem Grund sind sie linear unabhängig.
Gruß Abakus
> aber dann haut das ja mit der Klammer nicht mehr hin,
> oder?
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> Also gibt es da nichts. Demnach kann ich für alle drei nur
> die Null einsetzen, damit ist es linear unabhängig.
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