Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:58 Di 29.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Es seien (an) n [mm] \in \IN [/mm] konvergente Folgen mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] an = a
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] bn = b [mm] b\not= [/mm] 0
Zeigen Sie , dass bn [mm] \not= [/mm] 0 für fast alle n und dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an}{bn} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm] |
Hallo ,
Also: Zeigen Sie , dass bn [mm] \not= [/mm] 0 für fast alle n
Das habe ich durch Negation der Epsilon Definition gezeigt (richtig ?)
aber der zweite Teil:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an}{bn} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an}{bn} [/mm]
= [mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} an}{\limes_{n\rightarrow\infty} bn}
[/mm]
= [mm] \bruch{a}{b}
[/mm]
Das kanns doch nicht gewesen sein oder ??
Danke Euch für Eure Hilfe
Gruß
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:58 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien (an) n [mm]\in \IN[/mm] konvergente Folgen mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] an = a
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] bn = b [mm]b\not=[/mm] 0
>
> Zeigen Sie , dass bn [mm]\not=[/mm] 0 für fast alle n und dass
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an}{bn}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
> Hallo ,
>
> Also: Zeigen Sie , dass bn [mm]\not=[/mm] 0 für fast alle n
> Das habe ich durch Negation der Epsilon Definition gezeigt
> (richtig ?)
wenn Du es nicht vorführst, kann ich es nicht beurteilen, ob es richtig ist. Was jedenfalls auch geht, ist, [mm] $\varepsilon:=\frac{|b|}{2}$ [/mm] zu wählen. Mit [mm] $|b|-|b_n| \le |b_n-b|$ [/mm] (was leicht aus der Dreiecksungleichung folgt) ist dann jedenfalls
(I) [mm] $|b_n| \ge \frac{|b|}{2}$ [/mm] ab einem genügend großen $n$.
Denn wegen [mm] $b_n \to [/mm] b$ gibt es zu dem [mm] $\varepsilon:=\frac{|b|}{2}$ [/mm] (insbesondere ist wegen $b [mm] \not=0$ [/mm] hier [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$) ein [mm] $N=N_\varepsilon$... [/mm]
> aber der zweite Teil:
Zu zeigen ist also:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an}{bn}[/mm] = [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
Du behauptest, es gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{an}{bn}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty} an}{\limes_{n\rightarrow\infty} bn}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{a}{b}[/mm]
>
> Das kanns doch nicht gewesen sein oder ??
Nein, schon der erste Schritt: [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\limes_{n \to \infty}a_n}{\limes_{n \to \infty}b_n}$
[/mm]
ist doch genau die Aussage, die Du beweisen sollst. Das heißt, Dein Beweis sieht so aus: Die behauptete Aussage gilt, weil sie gilt. Das ist natürlich kein Beweis  .
Du solltest hier folgenden Ansatz verfolgen:
Bekannt ist Dir sicher für [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n=x$, $\lim_{n \to \infty} y_n=y$:
[/mm]
[mm] $(\star)$ $\lim_{n \to \infty} (x_n *y_n)=(\lim_{n \to \infty} x_n)*(\lim_{n \to \infty} y_n)$ [/mm] $(=x*y)$
Oben kannst Du [mm] $\frac{a_n}{b_n}=x_n*y_n$ [/mm] mit [mm] $x_n:=a_n$ [/mm] und [mm] $y_n:=\frac{1}{b_n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] schreiben. Dabei ist wegen [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n=a$ [/mm] klar, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n=a$.
[/mm]
Wenn Du nun zeigst, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} y_n=\frac{1}{b}$ [/mm] gilt, dann kannst Du [mm] $(\star)$ [/mm] verwenden und gelangst somit zu der Behauptung:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\limes_{n \to \infty}a_n}{\limes_{n \to \infty}b_n}$
[/mm]
und bist damit fertig.
Das geht allerdings nicht, indem Du einfach nur
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_n}=\frac{1}{\limes_{n \to \infty}b_n}$
[/mm]
schreibst, denn das ist wieder einfach nur eine Umformulierung der Behauptung, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} y_n=\frac{1}{b}$.
[/mm]
Vielmehr wirst Du dort zeigen müssen:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right| \le \varepsilon$.
[/mm]
Dazu:
[mm] $\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\left|\frac{b_n-b}{b*b_n}\right|=\frac{|b_n-b|}{|b*b_n|}$
[/mm]
Wichtig ist nun, dass "die Zählerfolge" [mm] $(|b_n-b|)_{n \in \IN}$ [/mm] hier eine Nullfolge ist, und "die Nennerfolge" [mm] $(|b*b_n|)_{n \in \IN}$ [/mm] ab einem $n$ nach unten beschränkt ist, so dass [mm] $\left(\frac{1}{|b_n*b|}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] ab einem $n$ eine nach oben beschränkte Folge ist.
(Ab dem [mm] $\black{n}$ [/mm] kann man dann jedenfalls den Satz anwenden:
"Nullfolge multipliziert mit beschränkter Folge ergibt Nullfolge."
Wenn Dir das nicht klar ist, kannst Du ja mal versuchen, diese Behauptung separat zu beweisen mittels [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$-Definition.)
[/mm]
Wenn Du die "grüngeschriebene" Bemerkung ignorieren willst, dann musst Du Dir überlegen, wie man oben zu gegebenen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ dann [mm] $\varepsilon_2 [/mm] > 0$ so definieren sollte, dass man wegen [mm] $b_n \to [/mm] b$ zu dem [mm] $\varepsilon_2 [/mm] > 0$ dann ein [mm] $N=N_{\varepsilon_2}$ [/mm] so finden kann, dass [mm] $\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right| \le \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_{\varepsilon_2}$... [/mm]
P.S.:
Wenn Du Dich fragst:
Warum ist [mm] $(|b*b_n|)_{n \in \IN}$ [/mm] ab einem $n$ nach unten beschränkt? Dann denke mal drüber nach, wie Du hier (I) verwenden kannst...
Gruß,
Marcel
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