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Konvergenz sin cos: beweis der divergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:37 Do 14.01.2010
Autor: nana

Aufgabe
Teilaufgabe:
Also: es geht darum z.z., dass
2x * sin (1/x) - cos (1/x)
für x -> 0 nicht konvergent ist.

Klar ist, dass sin und cos nicht konvergieren, aber ich weiß nicht wie ich das insges beweisen soll.

(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)

        
Bezug
Konvergenz sin cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Do 14.01.2010
Autor: AT-Colt

Nimm Dir zwei Folgen [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $\overline{x}_i$ [/mm] her, die gegen 0 konvergieren, und die in der Funktion einen unterschiedlichen Grenzwert liefern. Was ist dann?

Gruß,

AT-Colt

Bezug
        
Bezug
Konvergenz sin cos: erst umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Do 14.01.2010
Autor: Loddar

Hallo nana!


Formen wir zunächst etwas um:
[mm] $$2x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\cos\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\bruch{1}{x}*\cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}$$ [/mm]
Substituiere nun $z \ := \ [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] und untersuche den Grenzwert $z \ [mm] \rightarrow\infty$ [/mm] (z.B. mit MBde l'Hospital).


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Konvergenz sin cos: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 00:21 Fr 15.01.2010
Autor: nana

Also vielen Dank für die Antworten erstmal,
aber leider haben wir hospital noch nicht offiziell durchgenommen, ich darf ihn also leider nicht anwenden und das mit den zwei Folgen, die gegen unterschiedl. Grenzwerte streben hab ich ehrlich gesagt nicht ganz verstanden...
Falls noch jmd um diese Uhrzeit antwortet: Vielen vielen Dank...

Bezug
        
Bezug
Konvergenz sin cos: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:22 Fr 15.01.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Teilaufgabe:
>  Also: es geht darum z.z., dass
> 2x * sin (1/x) - cos (1/x)
>  für x -> 0 nicht konvergent ist.

>  Klar ist, dass sin und cos nicht konvergieren, aber ich
> weiß nicht wie ich das insges beweisen soll.

Ok, noch ein (verfeinerter) Ansatz.

Schau dir einmal die Funktion $2 x [mm] \sin(1/x)$ [/mm] an, und einmal die Funktion [mm] $\cos(1/x)$, [/mm] jeweils fuer $x [mm] \to [/mm] 0$.

Bei der ersten Funktion kannst du doch das Sandwichlemma benutzen (oder wie das bei euch heisst): $-2 |x| [mm] \le [/mm] 2 x [mm] \sin(1/x) \le [/mm] 2 |x|$. Daraus folgt $2 x [mm] \sin(1/x) \to [/mm] 0$ fuer $x [mm] \to [/mm] 0$.

Die zweite Funktion dagegen konvergiert fuer $x [mm] \to [/mm] 0$ nicht. Wenn $x [mm] \to [/mm] 0$ geht, dann geht ja $1/x [mm] \to \pm\infty$. [/mm] Du kannst also beliebig grosse Werte fuer $1/x$ bekommen, wenn $x$ beliebig klein wird.

Jetzt schwankt aber [mm] $\cos$ [/mm] immer zwischen -1 und 1. Finde doch eine Folge von beliebig grossen Werten, fuer die [mm] $\cos$ [/mm] immer 1 ist, und eine fuer die [mm] $\cos$ [/mm] immer -1 ist. Daraus bekommst du zwei Folgen fuer $x$, fuer die [mm] $\cos(1/x)$ [/mm] immer 1 bzw. -1 ist.

Schreib doch mal wie weit du kommst. Und wenn du festhaengst, ueberleg erstmal ein wenig laenger und probier rum bevor du nachfragst.

LG Felix


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