Konvergenz Jordan. Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Di 06.05.2008 | | Autor: | Aleksa |
| Aufgabe | wenn A $ [mm] \in M(kxk,\IC) [/mm] $ eine Matrix ist, betrachte die Folge $ [mm] A_n [/mm] $ = $ [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{j!}A^j [/mm] $
wobei $ [mm] A^0 [/mm] $ = $ [mm] E_k [/mm] $ definiert ist. Wir sagen, dass $ [mm] A_n [/mm] $ genen A $ [mm] \in M(kxk,\IC) [/mm] $ konvergiertn und schreiben lim $ [mm] A_n [/mm] $ = A, wenn für alle l,m die Folge der Einträge $ [mm] (a_{l,m})^{(n)} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{j=0}^{n} \bruch{A^j}{j!}_{l,m} [/mm] $ gegen $ [mm] a_{l,m} \in \IC [/mm] $ konvergiert.
Behauptung: die oben definierte Folge $ [mm] A_n [/mm] $ konvergiert.
Wir schreiben: $ [mm] limA_n [/mm] $ = exp(A)
a) Zeigen Sie die Behauptung für Diagonalmatrizen A.
b)Zeigen Sie die Behauptung für Jordanblock A= J(lamda,k)
3)Zeigen Sie die Behauptung für die Matrizen in Jordanscher Normalform. |
Nun habe ich die Beh.
für Diagonalmatrizen A gezeigt exp(A)= [mm] \pmat{ e^{t_1} ...& 0 \\ 0... & e^{t_n} }
[/mm]
und für einen Jordanblock
aber ich verzweifel' an der Jordanschen Normalform....muss ich die JNF erst zerlegen und dann exp(JNF) bestimmen....oder wie soll ich das machen...hat einer einen Tip??!
Danke
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> wenn A [mm]\in M(kxk,\IC)[/mm] eine Matrix ist, betrachte die Folge
> [mm]A_n[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n} \bruch{1}{j!}A^j[/mm]
> wobei [mm]A^0[/mm] = [mm]E_k[/mm]
> definiert ist. Wir sagen, dass [mm]A_n[/mm] genen A [mm]\in M(kxk,\IC)[/mm]
> konvergiertn und schreiben lim [mm]A_n[/mm] = A, wenn für alle l,m
> die Folge der Einträge [mm](a_{l,m})^{(n)}[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n} \bruch{A^j}{j!}_{l,m}[/mm]
> gegen [mm]a_{l,m} \in \IC[/mm] konvergiert.
>
> Behauptung: die oben definierte Folge [mm]A_n[/mm] konvergiert.
>
> Wir schreiben: [mm]limA_n[/mm] = exp(A)
>
> a) Zeigen Sie die Behauptung für Diagonalmatrizen A.
> b)Zeigen Sie die Behauptung für Jordanblock A= J(lamda,k)
> 3)Zeigen Sie die Behauptung für die Matrizen in
> Jordanscher Normalform.
> Nun habe ich die Beh.
> für Diagonalmatrizen A gezeigt exp(A)= [mm]\pmat{ e^{t_1} ...& 0 \\ 0... & e^{t_n} }[/mm]
>
> und für einen Jordanblock
> aber ich verzweifel' an der Jordanschen Normalform....muss
> ich die JNF erst zerlegen und dann exp(JNF)
> bestimmen....oder wie soll ich das machen...hat einer einen
> Tip??!
Hallo,
Du kannst die JNF als Blockmatrix aus Jordanblöcken und Nullmatrizen betrachten. Beim Multiplizieren beeinflussen sich die verschiedenen Blöcke nicht gegenseitig.
So kannst Du dann auf die Resultate der vorhergehenden teilaufgabe zurückgreifen.
Gruß v. Angela
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