Konsistenz und Falschheit < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:52 Mo 30.12.2024 | | Autor: | Pippen |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=266246&start=0&lps=1939594#v1939594
Wir nehmen den Hilbert-Kalkül H mit dem Zusatzaxiom: [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$. Dieser Kalkül ist konsistent, denn Hilbert ist konsistent und die eine Zusatzannahme dürfte nichts anrichten (wir gehen einfach mal davon aus). Es gilt also H, [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x [mm] \vdash \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$.
Gilt aber auch H, [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x [mm] \vDash \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$?
Nun gibt es ja nur zwei Möglichkeiten: entweder [mm] $\exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ ist wahr oder [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ ist wahr. Im ersten Fall hätten wir einen konsistenten Hilbert-Kalkül, der wegen einer falschen Prämisse/Axiom trivial korrekt wäre, d.h. ja es gilt H, [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x [mm] \vDash \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$, aber das Gefolgerte wäre natürlich trotzdem falsch. Im zweiten Fall könnten wir einfach H mit [mm] $\exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ kombinieren; das Ergebnis wäre analog gleich.
Wir können also festhalten: ein konsistenter Kalkül ist immer auch ein korrekter Kalkül im Sinne von [mm] $\Sigma \vdash \varphi \to \Sigma \vDash \varphi$, [/mm] aber eine bewiesene Formel daraus kann trotzdem falsch sein, d.h. Konsistenz schützt nicht vor Falschem!
Ist das so richtig? Mir wird nur gesagt, dass sei nicht richtig, aber mir leuchtet das nicht ein und ich verstehe nicht, wo genau ich einen Fehler mache.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Mo 30.12.2024 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pippen und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Wir nehmen den Hilbert-Kalkül H mit dem Zusatzaxiom: [mm]\neg \exists x \forall y: y \notin x[/mm].
OK, anscheinend betrachtest du einen Hilbertkalkül der Prädikatenlogik der ersten Stufe (mit oder ohne Gleichheit) erweitert um dein Zusatzaxiom angewandt auf eine Sprache mit zweistelligem Prädikatssymbol [mm] $\notin$. [/mm] (Oder mit zweistelligem Prädikatssymbol [mm] $\in$ [/mm] und [mm] $y\notin [/mm] x$ ist eine Kurzschreibweise für [mm] $\neg y\in [/mm] x$.)
> Dieser Kalkül ist konsistent, denn Hilbert ist konsistent
> und die eine Zusatzannahme dürfte nichts anrichten (wir
> gehen einfach mal davon aus).
Die Konsistenz des entstehenden Kalküls lässt sich in der Tat dadurch zeigen, dass man eine Semantik angibt, bezüglich der der Kalkül korrekt ist (z.B. die Semantik der Prädikatenlogik der ersten Stufe geeignet eingeschränkt auf Modelle, die dem Axiom [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ genügen) und bezüglich der es ein Modell gibt. Bezüglich der von mir skizzierten Semantik wird wohl Folgendes ein "zulässiges" Modell sein: Als Träger des Modells nehmen wir [mm] $U:=\{\*\}$ [/mm] eine einelementige Menge und legen fest, dass in diesem Modell [mm] $\*\in\*$ [/mm] gelte bzw. [mm] $\*\notin\*$ [/mm] nicht gelte.
> Es gilt also H, [mm]\neg \exists x \forall y: y \notin x \vdash neg \exists x \forall y: y \notin x[/mm].
Komische Schreibweise. In deinem Kalkül ist anscheinend [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ ein Axiom und als solches herleitbar (bereits ohne Prämissen; wohl erst recht mit beliebigen Prämissen).
> Gilt aber auch H, [mm]\neg \exists x \forall y: y \notin x \vDash \neg \exists x \forall y: y \notin x[/mm]?
Bezüglich der von mir skizzierten Semantik gilt bereits [mm] $\models \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ (sogar ohne Prämissen). Bezüglich der "nomalen" Semantik der Prädikatenlogik der ersten Stufe gilt hingegen nicht [mm] $\models \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ aber natürlich [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin x\models \neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$.
> Nun gibt es ja nur zwei Möglichkeiten: entweder [mm]\exists x \forall y: y \notin x[/mm]
> ist wahr oder [mm]\neg \exists x \forall y: y \notin x[/mm] ist
> wahr.
Das hängt vom konkreten Modell deiner Sprache ab, was wahr ist und was nicht. Wenn du dich auf ein festes Modell festlegst, ist (bei der von mir skizzierten Semantik) in diesem Modell in der Tat genau eine der beiden Aussagen wahr. Und dabei handelt es sich per obiger von mir vorgeschlagener Semantik-Definition um die Aussage [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$, die wahr ist.
> Im ersten Fall hätten wir einen konsistenten
> Hilbert-Kalkül,
Wir haben mit dem von dir skizzierten Kalkül offenbar einen konsistenten Kalkül (den ich nicht Hilbert-Kalkül, sondern eher "Pippen-Kalkül" nennen würde).
> der wegen einer falschen Prämisse/Axiom
> trivial korrekt wäre,
Korrekt bezüglich der von mir skizzierten Semantik ist der Kalkül. Das hat aber nichts mit einer falschen Prämisse zu tun.
> d.h. ja es gilt H, [mm]\neg \exists x \forall y: y \notin x \vDash \neg \exists x \forall y: y \notin x[/mm],
Ja, das gilt aus trivialen Gründen bezüglich der von mir skizzierten Semantik.
> aber das Gefolgerte wäre natürlich trotzdem falsch.
Nein, in allen Modellen bezüglich der von mir skizzierten Semantik ist das Gefolgerte wahr.
> Im
> zweiten Fall könnten wir einfach H mit [mm]\exists x \forall y: y \notin x[/mm]
> kombinieren;
> das Ergebnis wäre analog gleich.
??? Hier verstehe ich nicht, was du mit "kombinieren" meinst.
> Wir können also festhalten: ein konsistenter Kalkül ist
> immer auch ein korrekter Kalkül im Sinne von [mm]\Sigma \vdash \varphi \to \Sigma \vDash \varphi[/mm],
Warum sollte diese Schlussfolgerung für beliebige Kalküle und Semantiken gelten?
> aber eine bewiesene Formel daraus kann trotzdem falsch
> sein, d.h. Konsistenz schützt nicht vor Falschem!
Was verstehst du denn unter "Falschem"?
Ich vermute, dass du dir unter "Falschem" etwas vorstellst, was sich bezüglich der ZFC-Axiome widerlegen lässt? Wenn du die Axiome wechselst vom Axiomenschema ZFC zum "Pippen-Axiom" [mm] $\neg \exists [/mm] x [mm] \forall [/mm] y: y [mm] \notin [/mm] x$ ergeben sich eben andere Modelle und andere Schlussfolgerungen.
ZFC + Pippen-Axiom wäre hingegen (in der üblichen Prädikatenlogik der ersten Stufe mit Gleichheit) inkonsistent.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mo 30.12.2024 | | Autor: | Pippen |
Hallo tobi.
Mein Zusatzaxiom ist ja nichts weiter als die Aussage, dass es keine leere Menge gibt. Nehmen wir mal ein Modell an, wo es die leere Menge gibt, wo also mein Zusatzaxiom schlicht falsch wäre. ME bleibt davon die Konsistenz meines Pippen-Kalküls unberührt, denn Konsistenz ist eine rein syntaktische Eigenschaft, wonach nicht jede Formel ableitbar ist; Wahrheit und Falschheit sind der Konsistenz „egal“. Der Kalkül bliebe auch korrekt. Aber er würde trotzdem die falsche Aussage ableiten, dass es keine leere Menge gibt.
Genau das ist eigentlich meine Frage: Kann es konsistente Kalküle geben, deren Ableitung semantisch eine falsche Aussage ist? Mein Beispiel würde zeigen: ja, jeder konsistente Kalkül ist zwar ein korrekter Kalkül, aber das heißt nicht, dass er nur wahre Aussagen produziert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Do 02.01.2025 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pippen,
jetzt habe ich endlich wieder Zeit zum Antworten.
> Mein Zusatzaxiom ist ja nichts weiter als die Aussage, dass
> es keine leere Menge gibt.
Ja, so kann man sich die Formel veranschaulichen.
> Nehmen wir mal ein Modell an, wo
> es die leere Menge gibt, wo also mein Zusatzaxiom schlicht
> falsch wäre.
In der von mir im vorherigen Post skizzierten Semantik zum Pippen-Kalkül gibt es kein Modell mit leerer Menge.
Wenn du eine andere Semantik betrachten möchtest, bezüglich der es ein Modell mit leerer Menge gibt, wäre dein Kalkül bezüglich dieser Semantik eben nicht korrekt.
> ME bleibt davon die Konsistenz meines
> Pippen-Kalküls unberührt, denn Konsistenz ist eine rein
> syntaktische Eigenschaft, wonach nicht jede Formel
> ableitbar ist;
Ja.
> Wahrheit und Falschheit sind der Konsistenz
> „egal“.
OK. Konsistenz kann man als syntaktischen Begriff sehen, der nichts mit semantischen Begriffen zu tun hat.
> Der Kalkül bliebe auch korrekt.
Nein, bezüglich einer Semantik, in der es ein Modell mit leerer Menge gibt, ist dein Kalkül sicherlich nicht korrekt.
> Genau das ist eigentlich meine Frage: Kann es konsistente
> Kalküle geben, deren Ableitung semantisch eine falsche
> Aussage ist?
Was soll eine "falsche" Formel sein?
Ich vermute, du meinst eigentlich folgendes:
"Kann es konsistente Kalküle geben, die eine semantisch nicht gültige Schlussfolgerung herleiten lassen?"
Meine Antwort darauf:
Wenn du eine Semantik wählst, die gar nicht zum Kalkül passt, natürlich.
Sinnvoller finde ich aber, nur Semantiken zu betrachten, bezüglich der der jeweilige Kalkül mindestens mal korrekt ist. Ansonsten hat die Semantik ja wenig mit dem Kalkül zu tun.
Und Korrektheit eines Kalküls bezüglich einer Semantik BEDEUTET ja gerade (ich sehe hier darüber hinweg, dass wir keine präzise Definition der Begriffe Kalkül und Semnatik selbst vorliegen haben), dass alle syntaktischen Schlussfolgerungen des Kalküls semantisch gültig sind.
> Mein Beispiel würde zeigen: ja, jeder
> konsistente Kalkül ist zwar ein korrekter Kalkül,
Quatsch. Warum sollte das gelten?
> aber
> das heißt nicht, dass er nur wahre Aussagen produziert.
Ein Kalkül produziert Formeln. Was verstehst du unter einer "wahren" Formel?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Sa 04.01.2025 | | Autor: | Pippen |
Lass es mich vereinfachen. Unser Pippenkalkül hat nur ein Axiom a: es gibt keine leere Menge (natürlich als PL1-Formel) und es gibt nur die eine Schlussregel, dass nämlich das Axiom folgt. Es gilt also Pippenkalkül |- a. Der Kalkül ist offenbar konsistent.
Ist dieser Kalkül korrekt?
Jetzt nehmen wir den Pippenkalkül wieder her, aber ändern die Schlussregel: statt dass das Axiom folgt, folgt die Negation des Axioms, also Pippenkalkül |- ~a.
Dieser Kalkül ist genauso konsistent, aber jetzt inkorrekt, richtig? Damit hätten wir durch Beispiel gezeigt, dass ein konsistenter Kalkül auch falsche Aussagen beweisen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Sa 04.01.2025 | | Autor: | tobit09 |
> Lass es mich vereinfachen. Unser Pippenkalkül hat nur ein
> Axiom a: es gibt keine leere Menge (natürlich als
> PL1-Formel) und es gibt nur die eine Schlussregel, dass
> nämlich das Axiom folgt. Es gilt also Pippenkalkül |- a.
> Der Kalkül ist offenbar konsistent.
Ja.
> Ist dieser Kalkül korrekt?
Kommt auf die Semantik an.
> Jetzt nehmen wir den Pippenkalkül wieder her, aber ändern
> die Schlussregel: statt dass das Axiom folgt, folgt die
> Negation des Axioms, also Pippenkalkül |- ~a.
>
> Dieser Kalkül ist genauso konsistent,
Ja.
> aber jetzt
> inkorrekt, richtig?
Kommt wieder auf die Semantik an. Dass es innerhalb von ZFC eine leere Menge gibt, hat jedenfalls mit dieser Frage erst einmal nichts zu tun.
> Damit hätten wir durch Beispiel
> gezeigt, dass ein konsistenter Kalkül auch falsche
> Aussagen beweisen kann.
Ich verstehe zwar immer noch nicht genau, was du unter einer "falschen" Formel verstehst. Zumindest in der üblichen Semantik der Prädikatenlogik der ersten Stufe hängt die "Falschheit" eines Satzes (Formel ohne freie Variablen) vom betrachteten Modell ab.
Aber natürlich sagt Konsistenz nichts über Korrektheit (bezüglich einer zu definierenden Semantik) aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Sa 04.01.2025 | | Autor: | Pippen |
Ich verstehe nicht, warum es da auf die Semantik ankommt. Nehmen wir den ersten Pippenkalkül mit der Existenz der leeren Menge als Axiom a und nur der Schlussregel, dass Axiome gefolgert werden dürfen, so dass Pippenk. |- a.
Die Existenz der leeren Menge ist entweder wahr oder falsch. Ist sie wahr, dann ist der Kalkül korrekt, ist sie falsch, dann ist der Kalkül korrekt. Warum? Weil Korrektheit so definiert ist, dass wann immer etwas aus dem Kalkül folgt, auch gilt, dass wenn die Prämissen des Kalküls wahr sind, dann auch das Gefolgerte (ich spare mir die Verkomplizierungen mit Modell & Interpretation, es dürfte auf meine Formulierung hinauslaufen).
Genau deshalb dürfte auch die zweite Variante inkorrekt sein. Denn dort gilt, dass die Wahrheit von a gerade dazu führt, dass ~a, also Falsches, gefolgert wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:56 So 05.01.2025 | | Autor: | tobit09 |
> Die Existenz der leeren Menge ist entweder wahr oder
> falsch.
Das nimmt man vielleicht im ersten Semester so an, aber wenn man sich z.B. mit der Prädikatenlogik der ersten Stufe auf der Meta-Ebene beschäftigt (wie man das in mathematischer Logik tut), hängt die Existenz einer leeren Menge von der betrachteten Interpretation ab und ist nicht "immer wahr" oder "immer falsch".
Beweis:
Sei Interpretation [mm] $I_1$ [/mm] gegeben durch Träger [mm] $\{\*\}$ [/mm] (einelementig, d.h. es gibt in [mm] $I_1$ [/mm] nur eine Menge) und [mm] $\*\in\*$ [/mm] gelte in [mm] $I_1$. [/mm] Dann gibt es in [mm] $I_1$ [/mm] keine leere Menge, weil die einzige Menge nichtleer ist. Also ist die Existenz einer leeren Menge nicht immer wahr.
Sei Interpretation [mm] $I_2$ [/mm] gegeben wieder durch Träger [mm] $\{\*\}$, [/mm] aber diesmal [mm] $\*\notin\*$ [/mm] in [mm] $I_2$. [/mm] Dann ist [mm] $\*$ [/mm] eine leere Menge in [mm] $I_2$, [/mm] insbesondere gibt es eine leere Menge in [mm] $I_2$. [/mm] Also ist die Existenz einer leeren Menge auch nicht immer falsch.
> Ich verstehe nicht, warum es da auf die Semantik ankommt.
Korrektheit eines Kalküls [mm] $\vdash$ [/mm] bezüglich einer Semantik [mm] $\models$ [/mm] bedeutet, dass [mm] $\Sigma\vdash \varphi$ [/mm] für Formelmengen [mm] $\Sigma$ [/mm] und Formeln [mm] $\varphi$ [/mm] stets [mm] $\Sigma\models\varphi$ [/mm] impliziert.
Da finde ich es schon anschaulich naheliegend, dass die Korrektheit im Allgemeinen natürlich von der Semantik [mm] $\models$ [/mm] abhängt.
Aber ich möchte konkret drei Beispiele für Semantiken angeben, bezüglich der sich die Korrektheit der beiden Pippen-Kalküle unterschiedlich verhält:
Semantik 1: Wir nehmen die übliche Semantik der Prädikatenlogik der ersten Stufe (ohne Berücksichtigung irgendwelcher Besonderheiten bezüglich leerer Mengen).
Bezüglich dieser Semantik sind beide Pippen-Kalküle inkorrekt, wie die obigen Interpretationen [mm] $I_1$ [/mm] und [mm] $I_2$ [/mm] zeigen.
Semantik 2: Wir bezeichnen eine Interpretation $I$ der Sprache der Mengenlehre (bestehend aus dem einzigen Prädikatssymbol [mm] $\in$) [/mm] in der Prädikatenlogik der ersten Stufe als "zulässig", wenn es in $I$ eine leere Menge (d.h. ein [mm] $x\in [/mm] I$, so dass für alle [mm] $y\in [/mm] I$ bezüglich $I$ die Aussage [mm] $y\notin [/mm] x$ gilt) gibt. Dann sagen wir [mm] $\Sigma\models\varphi$, [/mm] wenn für alle ZULÄSSIGEN Modelle $I$ von [mm] $\Sigma$ [/mm] auch [mm] $I\models\varphi$ [/mm] gilt.
Bezüglich dieser Semantik ist der Pippen-Kalkül, der die Existenz einer leeren Menge herleitet, korrekt, aber der andere Pippen-Kalkül inkorrekt (hier kann man zum Beweis obige Interpretation [mm] $I_2$ [/mm] nutzen).
Semantik 3: Wir bezeichnen eine Interpretation $I$ der Sprache der Mengenlehre (bestehend aus dem einzigen Prädikatssymbol [mm] $\in$) [/mm] in der Prädikatenlogik der ersten Stufe diesmal als "zulässig", wenn es in $I$ KEINE leere Menge gibt. Dann sagen wir wieder [mm] $\Sigma\models\varphi$, [/mm] wenn für alle ZULÄSSIGEN Modelle $I$ von [mm] $\Sigma$ [/mm] auch [mm] $I\models\varphi$ [/mm] gilt.
Bezüglich dieser Semantik ist der Pippen-Kalkül, der die Existenz einer leeren Menge herleitet, inkorrekt (hier kann man zum Beweis obige Interpretation [mm] $I_1$ [/mm] nutzen), aber der andere Pippen-Kalkül korrekt.
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