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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Hallihallo hab mal wieder eine Frage
Zeige, dass für eine invertierbare Matrix [mm] A \in \IR^{n \times n}[/mm] die Konditionszahl bezüglich der 2-Norm als [mm] cond_2(A) = \bruch{||A||_2}{min\{||B||_2 : A+B \mbox{ist nicht invertierbar}\}}[/mm] geschrieben werden kann. Im Beweis wird nur die Darstellung [mm] ||A||_2 \equiv sup_{x\not=} \bruch{ ||Ax||_2}{||x||_2} \equiv max_{||x||_2=1}||Ax||_2 [/mm] der Matrixnorm benötigt.
Also ich weiß, dass gilt [mm] cond(A) = ||A||*||A^{-1}||[/mm], und dass [mm] cond_2(A) = \bruch {\lambda_max}{\lambda_min}[/mm].
Aber wie kann ich das jetzt in Verbindung zu der Aufgabe bringen??
Weiß wirklich leider nicht weiter!!
Bitte helft mir!!
Ach ja in der Aufgabenstellung steht noch was davon, dass hierbei die Kondition einer invertierbaren Matrix mit ihrer (relativen) Nähe zu nicht invertierbaren Matrizen in Verbindung gebracht werden soll.
Jörg
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Hallo Jörg,
du weißt dass A+B nicht invertierbar sein soll. D.h. es gibt einen Vektor x, so dass Ax=-Bx.
Daraus folgt, dass [mm]\lambda_{max}[/mm] von B größer oder gleich [mm]\lambda_{min}[/mm] von A ist, sonst könnte das nicht eintreten. Sicherlich gibt es eine Matrix B, für die die Gleichheit gilt.
Wenn du in deiner Formel die Norm von A durch [mm]\lambda_{max}[/mm] von A und den Nenner durch [mm]\lambda_{min}[/mm] von A ersetzt, dann hast du das Gewünschte.
Die Lambdas sind dabei aber nicht unbedingt Eigenwerte, sondern die größten bzw. kleinsten auftretenden Streckfaktoren [mm] \frac{||Ax||}{||x||}
[/mm]
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Joergi |
Danke für deinen Hinweis das hat mir sehr weitergeholfen. Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:40 Di 23.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo!
In diesem Beweis sollen nicht wir nicht über die Darstellung der [mm] Lambda_{max} [/mm] etc. gehen, sonder nur über die Def. der induzierten Matrixnorm.
Da finde ich dann aber keinen Ansatz.
Deine Argumentation kann ich leider nicht nachvollziehen.
Vielleicht könntest DU mir das noch einmal erklaren?
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Hallo [mm]\sqrt{\pi}[/mm],
zu jeder Matrix M gibt es den Streckungsfaktor
[mm]\lamba(M,x)=\frac{||Mx||}{||x||}[/mm],
der offensichtlich vom Vektor x abhängt und für alle Vektoren außer dem Nullvektor definiert ist.
Wir setzen nun [mm]\lambda_{max}(M)=\sup_{x\in\IR^2}\lambda(M,x)[/mm] und [mm]\lambda_{min}(M)=\inf_{x\in\IR^2}\lambda(M,x)[/mm].
Dann gilt für die nicht-invertierbare Matrix B, dass [mm]\lambda_{min}=0[/mm].
A+B soll aber invertierbar sein, d.h. [mm]\lambda_{min}(A+B)>0[/mm].
D.h. für keinen Vektor x ist Ax=-Bx.
Das ist gewährleistet, wenn [mm]\lamba(A,x)>\lambda(B,x)[/mm] für alle [mm]x\in\IR^2[/mm] oder umgekehrt. (Im umgekehrten Fall müsste aber [mm]\lambda_{max}(A)=0[/mm] sein, das geht nicht.)
Leider kann ich irgendwie nicht argumentieren, warum es immer so sein muss, d.h. dass es beim Verletzen der Ungleichung immer ein x gibt mit (A+B)x=0. Da ist noch eine Lücke.
Aber mit meiner Argumentation kann ich das Supremum über die Matrizen B ersetzen durch [mm]\lambda_{min}(A)[/mm], sobald ich diese Unstimmigkeit beseitigt habe.
Hugo
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