Komplexe Folgen - Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Und zwar möchte ich beweisen:
[mm] (z_{n}) \in \IC^{IN} [/mm] konv. [mm] \gdw a_{n} [/mm] konv. und [mm] b_{n} [/mm] konv. (salopp)
Die Rückrichtung müsste so gehn:
| [mm] z_{n} [/mm] - z |
= [mm] |a_{n} [/mm] + i [mm] b_{n} [/mm] - (a+ib)|
= [mm] |a_{n} [/mm] -a + i [mm] b_{n}+ib|
[/mm]
= [mm] |a_{n} [/mm] -a + i [mm] (b_{n}+b)|
[/mm]
[mm] \le |a_{n} [/mm] -a| + $| i [mm] (b_{n}+b)|$
[/mm]
= [mm] |a_{n} [/mm] -a| + [mm] |b_{n}+b|
[/mm]
< [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Oder (also nur grob, natürlich noch ordentlich mit Definitionen und so)
Aber wie geht die Hinrichtung???
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hi,
auf gehts zur Hinrichtung 
[mm] z_n=a_n+b_n\cdot [/mm] i, [mm] z=a+b\cdot [/mm] i
[mm] |z_n-z|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n+b_n\cdot i-(a+b\cdot i)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_n-a [/mm] + [mm] i(b_n-b)|<\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon
[/mm]
Also [mm] a_n-a\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon [/mm] und für [mm] b_n [/mm] analog [...]
Die Feinheiten gehören dir.
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke dir. ;)
Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm] a_{n} [/mm] -a [mm] \le [/mm] ...
Hast du das einfach angenommen oder ist das eine Umformung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
> Danke dir. ;)
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> Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm]a_{n}[/mm] -a [mm]\le[/mm]...
> Hast du das einfach angenommen oder ist das eine Umformung?
Nein, das ist keine Annahme.
[mm] a_n-a=\sqrt{(a_n-a)^2}\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon
[/mm]
Jetzt klar? :D
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 So 06.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ja, jetzt ist es klar. ;) Vielen Dank nochmal. :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:45 Mo 07.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Danke dir. ;)
> >
> > Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm]a_{n}[/mm] -a
> [mm]\le[/mm]...
> > Hast du das einfach angenommen oder ist das eine
> Umformung?
>
> Nein, das ist keine Annahme.
>
> [mm]a_n-a=\sqrt{(a_n-a)^2}\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon[/mm]
> Jetzt klar?
Nein, mir nicht. Es sei denn , Du meinst:
[mm] $|a_n-a|=\sqrt{(a_n-a)^2}$,
[/mm]
dann ist es mir auch klar !
Gruß FRED
:D
>
> Gruß
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Mo 07.02.2011 | | Autor: | pyw |
> > > Danke dir. ;)
> > >
> > > Ähm..die allerletzte Abschätzung, also mit [mm]a_{n}[/mm] -a
> > [mm]\le[/mm]...
> > > Hast du das einfach angenommen oder ist das eine
> > Umformung?
> >
> > Nein, das ist keine Annahme.
> >
> >
> [mm]a_n-a=\sqrt{(a_n-a)^2}\leq\sqrt{(a_n-a)^2+(b_n-b)^2}<\varepsilon[/mm]
> > Jetzt klar?
>
> Nein, mir nicht. Es sei denn , Du meinst:
>
>
> [mm]|a_n-a|=\sqrt{(a_n-a)^2}[/mm],
Ja, so sieht das noch besser aus 
Danke für die Bemerkung!
>
> dann ist es mir auch klar !
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> Gruß FRED
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>
>
> :D
> >
> > Gruß
> >
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