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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 09.07.2011 | | Autor: | yuppi |
| Aufgabe | Sei G Teilmenge vom [mm] R^2 [/mm] das zwischen den Geraden x=-1 und x=0 liegende Gebiet, das von den Kurven [mm] y=x^3 [/mm] und [mm] y=x^2 [/mm] begrenzt wird. Gegeben sei der Körper
K=( (x,y,z) Element [mm] R^3 [/mm] | (x,y) Element G, 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le y-x^3
[/mm]
a) Skizzieren Sie G.
b)Berechnen Sie das Volumen von K |
Hallo Zusammen,
a habe ich gemacht, war recht einfach.
Zur b habe ich Probleme zu den Grenzen. Das sollte man in diesem Fall kartesisch integrieren, da das Gebiet durch eine Parabel und Hyperbel begrenzt wird.
Also die Grenze von z ist ja gegeben.
Für die Grenze von y, habe ich wie damals in der Schule beide Fkt. gleichgesetzt, um die 2 Grenzen zu erhalten. Habe mir aber während dessen gedacht, das macht irgendwie wenig Sinn. Also raus kam x=0 und x=1
Ich habe dann in die Musterlösung geschaut, und mein Ansatz war falsch.
Dort sind als Grenzen die im Aufgabentext erwähnten gewählt worden.
Verstehe ebenso nicht wieso [mm] y=x^3 [/mm] die untere Grenze ist und [mm] y=x^2 [/mm] die obere Grenze ist.
Ich glaube, bin mir allerdings nicht sicher, da [mm] x^3 [/mm] im Gebiet G (0-1) kleiner als [mm] x^2 [/mm] ist. Das wäre für mich die logischste Erklärung.
Das x=-1 und x=0 die Grenzen von x sind ist eig. Klar.
Es gilt ja vol(k) = [mm] \integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}1dxdydz
[/mm]
Allerdings wurde in der M.L nach
dz zunächst, dann nach dy und zum Schluss nach dx.
Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre ich ihn dankbar.
Habe schon viel kartesisch integriert, aber so wars noch nie.
Letzte Frage: Ich berechne sozusagen das Volumen K ( Das vom Gebiet durch die Intervallgrenzen begrenzt wird, oder ?)
Hoffe habe ich nicht zum viel geschrieben. Wills hat endlich verstehen.
Lg yuppi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Sa 09.07.2011 | | Autor: | meili |
Hallo yuppi,
> Sei G Teilmenge vom [mm]R^2[/mm] das zwischen den Geraden x=-1 und
> x=0 liegende Gebiet, das von den Kurven [mm]y=x^3[/mm] und [mm]y=x^2[/mm]
> begrenzt wird. Gegeben sei der Körper
>
> K=( (x,y,z) Element [mm]R^3[/mm] | (x,y) Element G, 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le y-x^3[/mm]
>
> a) Skizzieren Sie G.
> b)Berechnen Sie das Volumen von K
> Hallo Zusammen,
>
> a habe ich gemacht, war recht einfach.
>
> Zur b habe ich Probleme zu den Grenzen. Das sollte man in
> diesem Fall kartesisch integrieren, da das Gebiet durch
> eine Parabel und Hyperbel begrenzt wird.
>
> Also die Grenze von z ist ja gegeben.
>
> Für die Grenze von y, habe ich wie damals in der Schule
> beide Fkt. gleichgesetzt, um die 2 Grenzen zu erhalten.
> Habe mir aber während dessen gedacht, das macht irgendwie
> wenig Sinn. Also raus kam x=0 und x=1
>
> Ich habe dann in die Musterlösung geschaut, und mein
> Ansatz war falsch.
>
> Dort sind als Grenzen die im Aufgabentext erwähnten
> gewählt worden.
> Verstehe ebenso nicht wieso [mm]y=x^3[/mm] die untere Grenze ist
> und [mm]y=x^2[/mm] die obere Grenze ist.
> Ich glaube, bin mir allerdings nicht sicher, da [mm]x^3[/mm] im
> Gebiet G (0-1) kleiner als [mm]x^2[/mm] ist. Das wäre für mich die
> logischste Erklärung.
Ja, auf der Skizze von G erkennt man, G wird
von unten zwischen den Punkten (-1;-1) und (0;0) durch [mm] $y=x^3$ [/mm] begrenzt,
von oben zwischen den Punkten (-1;1) und (0;0) durch [mm] $y=x^2$, [/mm]
links durch die Gerade x=-1 und
rechts durch den Punkt (0;0), in dem sich [mm] $y=x^3$ [/mm] und [mm] $y=x^2$ [/mm] treffen.
>
> Das x=-1 und x=0 die Grenzen von x sind ist eig. Klar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
...und aus der Definition von G, ergibt sich: [mm] $x^3$ [/mm] ist die untere und
[mm] $x^2$ [/mm] die obere Grenze von y.
Wegen der Definition von K ist 0 die untere Grenze und $y [mm] -x^3$ [/mm] die obere
Grenze von z.
>
>
> Es gilt ja vol(k) =
> [mm]\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}\integral_{a}^{b}1dxdydz[/mm]
Ist das Volumen eines Würfels mit Seitenlänge (b-a).
[mm]\integral_{a_z}^{b_z}\integral_{a_y}^{b_y}\integral_{a_x}^{b_x}1dxdydz[/mm]
ist das Volumen eines Quaders, es müssen nicht dieselben Grenzen für x,
y und z sein.
Sind die Grenzen [mm] $a_x, b_x, a_y, b_y, a_z$ [/mm] und [mm] $b_z$ [/mm] feste Zahlen, so ist die Reihenfolge in der integriert wird egal.
Bei dieser Aufgabe ist aber die obere Grenze von z eine Funktion abhängig
von x und y, die Grenzen von y hängen von x ab. Nur für x sind feste
Grenzen vorgegeben. In einem solchen Fall muss in der Reihenfolge dz, dy, dx
integriert werden, also
vol(K) = [mm]\integral_{-1}^{0}\integral_{x^3}^{x^2}\integral_{0}^{y-x^3}1dzdydx[/mm].
Denn bei der Interation nach z kommt [mm] $y-x^3$ [/mm] durch die Grenze in den
Integrand und muss beim Integrieren nach y berücksichtigt werden.
Später beim Integrieren nach x, ist im Integrand x vorhanden aus den
Grenzen von z und y.
Würde man nicht die richtige Reihenfolge beim Integrieren einhalten,
bekäme man später eine Variable in den Integranden nach der man schon
integriert hat, ohne sie dabei zu berücksichtigen.
>
> Allerdings wurde in der M.L nach
>
> dz zunächst, dann nach dy und zum Schluss nach dx.
>
> Wenn mir das jemand erklären könnte, wäre ich ihn
> dankbar.
> Habe schon viel kartesisch integriert, aber so wars noch
> nie.
>
> Letzte Frage: Ich berechne sozusagen das Volumen K ( Das
> vom Gebiet durch die Intervallgrenzen begrenzt wird, oder
> ?)
K wird von unten durch G begrenzt, von oben durch die Funktion
z(x,y) = [mm] $y-x^3$, [/mm] links durch eine zur y,z-Ebene parallele Ebene durch
x=-1, entlang von [mm] $y=x^3$ [/mm] ist z = 0, treffen also der "Boden" G und die
"Decke" aufeinander, entlang [mm] $y=x^2$ [/mm] werden "Boden" G und die "Decke"
senkrecht verbunden.
Vielleicht hilft da auch eine Skizze von K.
>
> Hoffe habe ich nicht zum viel geschrieben. Wills hat
> endlich verstehen.
>
> Lg yuppi
>
Gruß
meili
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