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Integration durch Substitution: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Mo 21.02.2005
Autor: drummy

Hallo Leute,

ich hab hier ein Problem bei dieser Aufgabe:

[mm] \integral_{0}^{2} {f(\bruch{4}{2x+5}) dx} [/mm]

ich hab für g(x) =  2x+5 und für f(z) = [mm] \bruch{4}{z} [/mm] gesetzt. Für g´(x) =2. Wenn ich so weiter rechne bleib ich aber hängen. Es wäre nett wenn mir jemand Tips bzw. Hilfestellungen geben würde.
        
Integration durch Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Mo 21.02.2005
Autor: Fabian

Hallo Drummy

Du hast es doch schon fast , auch wenn mir deine Bezeichnungen nicht ganz einleuchten!

Ich rechne dir mal ein paar Schritte vor:


[mm] \integral {\bruch{4}{2x+5}*dx}= 4*\integral {\bruch{1}{2x+5}*dx} [/mm]

Und jetzt substituierst du einfach [mm]u=2x+5[/mm]


[mm]u=2x+5[/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}=2 [/mm]

[mm] dx=\bruch{du}{2} [/mm]

Und erhälst:

[mm] 4*\integral {\bruch{1}{u}*\bruch{du}{2}} [/mm]

Jetzt versuch mal alleine weiterzukommen , ist jetzt echt nicht mehr schwierig! Ansonsten melde dich noch mal , ich helfe dir gerne auch noch bei den letzten Schritten weiter!

Gruß Fabian

        
Integration durch Substitution: Alternative
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Di 22.02.2005
Autor: Loddar

Hallo drummy!


Eine leicht andere Vorgehensweise wäre:

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{4}{2x+5} dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2 * 2}{2x+5} dx} [/mm] \ = \ 2 * [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2}{2x+5} dx}$ [/mm]

Nun steht im Zähler exakt die Ableitung des Nenners.

Damit gilt folgende Integralregel:

[mm] $\integral_{}^{} {\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln [/mm] \ [mm] \left| \ f(x) \ \right| [/mm] \ + \ C$


Das Ergebnis sollte dasselbe sein wie in der Antwort von persilous.


Loddar

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