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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Sa 18.09.2004 | | Autor: | filou |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo allerseits !
Ich habe da ein Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme.
Das folgende Gleichungssystem sei gegeben:
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] - [mm] 2*z^{2} [/mm] = 0
[mm] x^{2} [/mm] + [mm] 2*y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = 0
a) Finde für x = 0 die Koordinaten y,z, sodass die Gleichungen erfüllt sind und das System in der Umgebung des Punktes (x,y,z) nach y(x) und nach
z(x) aufgelöst werden kann.
b) Berechne [mm] \bruch{\partial y(x)}{\partial x} [/mm] und [mm] \bruch{\partial z(x)}{\partial x}.
[/mm]
Also, ich hab für den Punkt, der die Gleichung erfüllt berechnet:
(x,y,z) = (0, [mm] \wurzel{\bruch{8}{5}} [/mm] , [mm] \wurzel{\bruch{4}{5}})
[/mm]
Man kann jetzt die Bedingungen überprüfen, ob das Gleichungssystem dem Satz der impliziten Funktionen genügt. Und dies tut es auch.
Ich habe aber jetzt Mühe die Theorie umzusetzen bei Gleichungssysteme. Ich schaffe es irgendwie nicht y(x) und z(x) aufzulösen, so dass ich dann b) berechnen kann. Mir ist bewusst, dass es dann auf eine reine formale Matrizenberechnungen hinausläuft... nach dem satz der impliziten fkt. muss [mm] \bruch{\partial y(x)}{\partial x} [/mm] = - [mm] D_{y,z}^{-1}*D_{x,y} [/mm] sein. Gerade diese Matrizen kann ich nicht korrekt aufstellen.
Kann mir da jemand auf die sprünge helfen ?
Vielen Dank !
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F(x;y,z) = ( x²+y²-2z² , x²+2y²+z² )
Problem: F(x;y,z)=(0,0)
Irgendwie scheint mir diese Aufgabe vermurkst zu sein. Zunächst löst dein Punkt das Gleichungssystem überhaupt nicht. Aus x=0 erhält man nämlich zwangsläufig y=z=0. Zudem existieren keine Funktionen y=y(x), z=z(x) , so daß F(x;y(x),z(x))=(0,0) in einer Umgebung von (0;0,0).
Überprüfe bitte noch einmal deine Angaben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 So 19.09.2004 | | Autor: | filou |
Hallo Leopold !
Danke, dass du dich die Zeit genommen hast. In der Tat hab ich falsch abgetippt.
x²+y²-2z² = 0
x²+2y²+z²= 4
Ich hoffe nun, dass sich keine weiteren Fehler eingeschlichen haben!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo filou!
Es gibt zwei Möglichkeiten die Aufgabe zu lösen:
1. Möglichkeit:
Du löst nach [mm] $y^2$ [/mm] und [mm] $z^2$ [/mm] auf (LGS) und erhältst:
[mm] $y^2(x) [/mm] = - [mm] \frac{3}{5}x^2 [/mm] + [mm] \frac{8}{5}$.
[/mm]
[mm] $z^2(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{5}x^2 [/mm] + [mm] \frac{4}{5}$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch eine geeignete Umgebung $U(0)$ von $x=0$ suchen mit
$- [mm] \frac{3}{5}x^2 [/mm] + [mm] \frac{8}{5}>0$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{5}x^2 [/mm] + [mm] \frac{4}{5}>0$,
[/mm]
jeweils die Wurzel ziehen und dann ganz normal differenzieren.
2. Möglichkeit:
Du berechnest direkt aus der Theorie der impliziten Funktionen:
[mm] $\frac{d}{dx}(y(x),z(x)) [/mm] = - [mm] \begin{pmatrix} 2y(x) & -4z(x) \\4y(x) & 2z(x) \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 2x \\ 2x \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -\frac{3}{5}\frac{x}{y(x)} \\ \frac{1}{5} \frac{x}{z(x)} \end{pmatrix}$.
[/mm]
Dies ist ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit der Anfangsbedingung [mm] $y(0)=\sqrt{\frac{8}{5}},\, z=\sqrt{\frac{4}{5}}$. [/mm] Daraus erhält man durch Integration:
[mm] $y^2(x) [/mm] = - [mm] \frac{3}{5}x^2 [/mm] + [mm] \frac{8}{5}$,
[/mm]
[mm] $z^2(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{5}x^2 [/mm] + [mm] \frac{4}{5}$,
[/mm]
und wiederum kann man nach geeigneter Einschränkung die Wurzel ziehen.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mo 20.09.2004 | | Autor: | filou |
Hallo julius !
Vielen Dank !
gruss
filou
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