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| Aufgabe | Zeige für homogene Relationen R, S auf A, dass:
[mm] a)(R*)^{-1} [/mm] = [mm] (R^{-1})* [/mm]
b)(R [mm] \cup [/mm] S)* = (R*S)*R*
* kennzeichnet die reflexive, transitive Hülle |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mein "Versuch":
Die reflexive, transitive Hülle ist definiert als
R* = [mm] \bigcup_{n \ge 0} R^n
[/mm]
D.h.
[mm] R^0 [/mm] = 1 (?)
[mm] R^1 [/mm] = R
[mm] R^2 [/mm] = R [mm] \circ [/mm] R
usw.
Nun ist bei a)
Die reflexiv-transitive Hülle als inverse Relation gleich der inversen Relation in ihrer reflexiv-transitiven Hülle. Das ist zu beweisen.
Wie macht man das? Ich hätte jetzt anhand der Definitionen versucht, das ganze abzuklären, aber die Definition für R* ist ja nicht so ohne weiteres "hinzuschreiben".
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Die Frage ist immer noch aktuell und nicht überflüssig.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mo 12.11.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Zeige für homogene Relationen R, S auf A, dass:
>
> [mm]a)(R^{\*)^{-1}[/mm] = [mm](R^{-1})^{\*}[/mm]
> b)(R [mm]\cup[/mm] S)* = (R*S)*R*
>
> * kennzeichnet die reflexive, transitive Hülle
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mein "Versuch":
>
> Die reflexive, transitive Hülle ist definiert als
> R* = [mm]\bigcup_{n \ge 0} R^n[/mm]
>
> D.h.
> [mm]R^0[/mm] = 1 (?)
[mm] $R^0 [/mm] = [mm] Id_A$ [/mm] die identische Relation; [mm] x$R^0$x $\forall$ [/mm] x [mm] $\in$ [/mm] A.
> [mm]R^1[/mm] = R
> [mm]R^2[/mm] = R [mm]\circ[/mm] R
> usw.
>
> Nun ist bei a)
> Die reflexiv-transitive Hülle als inverse Relation gleich
> der inversen Relation in ihrer reflexiv-transitiven Hülle.
> Das ist zu beweisen.
>
> Wie macht man das? Ich hätte jetzt anhand der Definitionen
> versucht, das ganze abzuklären, aber die Definition für
> R* ist ja nicht so ohne weiteres "hinzuschreiben".
Vielleicht geht es einfacher mit dieser Defintion der
reflexiv-transitiven Hülle:
[mm] $xR^{\*}y :\gdw [/mm] x =y [mm] \vee \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \exists x_1, \ldots, x_n \in [/mm] A: xRx_1Rx_2R [mm] \ldots [/mm] Rx_nRy$
>
>
Íst bei (R*S)*R* Hintereinanderausführung von R* und S und (R*S)* und R* gemeint?
Gruß
meili
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Vielen Dank erstmal und ja, damit ist die Hintereinander-Ausführung gemeint im Sinne einer Komposition.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 12.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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