Hessesche Normalform einer Ger < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich hab folgende aufgabe versucht zu lösen:
Im R2 sind zwei sich schneidende geraden gegeben:
1) g: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 6 \end{pmatrix} [/mm] + k* [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix}
[/mm]
2) h: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] + l* [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass jeder Punkt der Geraden w1 und w2 von den Geraden g und h den gleichen abstand haben.
w1: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \end{pmatrix} [/mm] + r* [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}
[/mm]
w2: [mm] \vec [/mm] x = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + s* [mm] \begin{pmatrix} -7 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Nun hab ich das ausgerechnet nach der hesseschen Normalform. Dabei hab ich für r und s 1 eingesetzt, damit ich einen punkt von dieser Geraden habe.
dabei hab ich für p= [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
unf dür q= [mm] \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
nach der hesseschen normalform ergibt sich nun für den abstand von d(g,p)= 5,6
d(g,f)= 0,6
d(h,p)= 2.4
d(h,Q)= 1
Nun weiß ich nicht weiter, da ich mir nicht mal sicher bin ob ich überhaupt richtig gerechnet habe. weiterhin möchte ich wissen wie ich nun fortfahren muss. muss ich noch weiterhin für r und s weitere zahlen einsetzen um die antwort zu bekommen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 So 11.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo NRWFistigi
Du kannst so rechnen, zeigst aber damit lediglich einen besonderen Fall mit dem Punkt P(2/2).
Die Aufgabe besteht darin, zu zeigen, dass die Eigenschaft für alle Punkte gilt. Wenn [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] von g und h den gleichen Abstand haben, sind sie winkelhalbierende Geraden von g und h (deshalb heissen sie vermutlich w!).
Vielleicht zeichnest du einfach einmal zwei beliebige Geraden und die beiden Winkelhalbierenden dazu. Du wirst folgendes feststellen:
1. Alle vier Geraden müssen sich in einem Punkt schneiden.
2. Die beiden Winkelhalbierenden stehen senkrecht zu einander.
Also:
1. Schnitt von g und h:
[mm] \vektor{-1 \\ 6}+k* \vektor{3 \\ -4}= \vektor{6 \\ 5}+l* \vektor{4 \\ 3} \gdw \vmat{ -1+3k=6+4l \\ 6-4k=5+3l}
[/mm]
zB die obere Gleichung mit 4 erweitern und die untere mit 3, dann addieren, ergibt für l den Wert -1: l=-1.
Damit schneiden sich gund h im Punkt (2/2).
2. [mm] w_{1} [/mm] und [mm] w_{2} [/mm] gehen auch durch den Punkt (2/2). Dies sieht man, wenn (2/2) sowohl in [mm] w_{1} [/mm] als auch in [mm] w_{2} [/mm] eingesetzt wird.
Damit schneiden sich alle vier Geraden im Punkt (2/2). Diesen Punkt hast du ja auch.
3. [mm] w_{1} [/mm] ist Winkelhalbierende von g und h. Das heisst: der Richtungsvektor von [mm] w_{1} [/mm] ist gleich der Summe oder Differenz der Richtungsvektoren von g und h:
[mm] \vektor{3 \\ -4} \pm \vektor{4 \\ 3}= \vektor{7 \\ -1} [/mm] bzw [mm] \vektor{-1\\ -7}
[/mm]
Es gilt : [mm] \vektor{7 \\ -1}=-1*\vektor{-7 \\ 1}; \vektor{-1\\ -7}=-1*\vektor{1\\ 7}
[/mm]
Dies sind aber die Richtungsvektoren von g und h!
Damit ist die Aufgabe gelöst. Die Tatsache, dass g und h senkrecht zu einander stehen, hat keine Bedeutung.
Viele Grüsse
dominik
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