Gültigkeit des Parallelaxiom < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
Hallo Leute,
hatte letzte Woche meine erste Vorlesung in Elementargeometrie! Habe nun eine Aufgabe bekommen, mit der ich meine Schwierigkeiten habe!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Folgende Axiome sollen gelten:
Axiom 1: Zu zwei verschiedenen Punkten A,B [mm] \in \gamma [/mm] gibt es eine Gerade g [mm] \subset \gamma [/mm] mit A,B [mm] \in [/mm] g kurz g= [mm] \overline{AB}
[/mm]
Axiom 2: Durch zwei verschiedene Punkte führt genau eine Gerade.
Axiom 3: Auf jeder Geraden gibt es mindestens zwei Punkte.
Wie ist der Ansatz?!
Wie geht man denn an solch eine Aufgabe ran?!
LG.
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
schreib Dir doch mal die Menge aller Geraden in diesem Modell auf ( es sind nicht viele!). Wähle eine aus und dazu einen Punkt, der nicht auf ihr liegt.
Dann betrachte alle Geraden,die diesen Punkt enthalten. Gibt es eine, die parallel zur gewählten Geraden ist?
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
> Hallo,
> schreib Dir doch mal die Menge aller Geraden in diesem
> Modell auf ( es sind nicht viele!).
Okay, wenn ich es richtig verstanden habe, dann besteht die Menge aller Geraden aus [mm] {{\overline{ab}, \overline{ac}, \overline{bc}, \overline{ba}, \overline{ca}, \overline{cb}}} [/mm] richtig?
> Wähle eine aus und dazu
> einen Punkt, der nicht auf ihr liegt.
Zum Beispiel [mm] \overline{ab} [/mm] mit dem Punkt c.
> Dann betrachte alle Geraden,die diesen Punkt enthalten.
Diese wären dann [mm] \overline{ac}, \overline{bc}, \overline{ca}, \overline{cb} [/mm] ??
> Gibt es eine, die parallel zur gewählten Geraden ist?
Woran erkenne ich, ob die jeweiligen Geraden parallel sind?
> Gruß korbinian
LG
Karl
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Hallo Karl,
Du darfst davon ausgehen, dass [mm] \overline{ab}=\overline{ba} [/mm] ist etc.
Eine dazu parallele Gerade hätte mit ihr keinen Punkt gemeinsam.
Es ist in diesem Modell leicht zu zeigen, dass eine solche Parallele nicht existieren kann. Ansatz: es gibt drei Punkte, je zwei davon liegen auf einer Geraden, der dritte Punkt dann nicht. Die durch ihn führenden Geraden aber...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Karl87 |
> Hallo Karl,
> Du darfst davon ausgehen, dass [mm]\overline{ab}=\overline{ba}[/mm]
> ist etc.
Okay, alles klar! War mir da auch unsicher!
> Eine dazu parallele Gerade hätte mit ihr keinen Punkt
> gemeinsam.
> Es ist in diesem Modell leicht zu zeigen, dass eine solche
> Parallele nicht existieren kann. Ansatz: es gibt drei
> Punkte, je zwei davon liegen auf einer Geraden, der dritte
> Punkt dann nicht. Die durch ihn führenden Geraden aber...
...haben jeweils ein Schnittpunkt mit der Geraden der anderen zwei Punkte! Somit kann das Parallelaxiom nicht gelten!? Richtig!?
> Grüße
> reverend
Somit könnte man in der zweiten Teilaufgabe das Modell M einfach durch einen Punkt erweitern, damit das Parallelaxiom gültig ist!?
LG.
Karl
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Genau.
Richtig.
So isses.
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