Grenzwert zeigen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
habe nen Problem mit ner Grenzwertaufgabe bin auf dem Gebiet absolut schlecht glaub ich.
Wäre also ziemlich hilfreich wenn man bei der Antwort ungefähr sagt was ihr gemacht habt.
Ich soll zeigen, dass die Folge [mm] x_n [/mm] den Grenzwert 1 besitzt.
[m]x_n = (1-\bruch{1}{n^2})^n[/m]
Jetzt kann ich die Folge doch mit der Bernoulliungleichung umschreiben.
[m](1-\bruch{1}{n^2})^n \ge 1-\bruch{1}{n}[/m] (das n habe ich schon gekürzt)
für die neue Folge kenne ich ja den Grenzwert und der ist 1.
Wie zeige ich jetzt die Gleichheit, der beiden? Oder ist mein Ansatz falsch?
Für Hilfe sehr dankbar
Shaguar
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Hallo,
du bist eigentlich schon fertig - du musst die Folge nur noch "von der anderen Seite" abschätzen. Der Term in der Klammer [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)[/mm] liegt immer zwischen 0 und 1, wie man leicht sehen kann (denn [mm] $n\in\IN$). [/mm] Dann liegt auch [mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n[/mm] zwischen 0 und 1, ist also insbesondere immer kleiner als 1.
Also:
[mm]1 > \left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n \ge 1-\bruch{1}{n}[/mm]
Für die rechte Folge ist der Grenzwert 1. Daraus folgt schon der Grenzwert deiner Folge, denn (anschaulich gesprochen) [mm] $x_n$ [/mm] ist einerseits immer kleiner als 1, andererseits größer als eine Folge, die beliebig nahe an die 1 herankommt. Also muss auch [mm] $x_n$ [/mm] beliebig nahe an 1 herankommen.
- Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin,
> habe nen Problem mit ner Grenzwertaufgabe bin auf dem
> Gebiet absolut schlecht glaub ich.
> Wäre also ziemlich hilfreich wenn man bei der Antwort
> ungefähr sagt was ihr gemacht habt.
>
> Ich soll zeigen, dass die Folge [mm]x_n[/mm] den Grenzwert 1
> besitzt.
>
> [m]x_n = (1-\bruch{1}{n^2})^n[/m]
>
> Jetzt kann ich die Folge doch mit der Bernoulliungleichung
> umschreiben.
>
> [m](1-\bruch{1}{n^2})^n \ge 1-\bruch{1}{n}[/m] (das n habe ich
> schon gekürzt)
Mal ein anderer Ansatz:
Es gilt [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm]\left(1-\bruch{1}{n^2}\right)^n
=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n*\left(1-\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
Jetzt mußt du dir überlegen, wie du nachweisen kannst, dass die Folge[m]\left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}[/m] gegen [m]\frac{1}{e}[/m] konvergiert.
(Tipps dazu: Erst mal nennergleich machen, dann den Bruch in einen Doppelbruch umschreiben und dann vielleicht eine Indexverschiebung um 1 (bei Betrachtung des Grenzwertes!) und sich erinnern, dass die Folge [m]\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN}[/m] auch gegen $e$ konvergiert.)
Da du (hoffentlich) weißt, dass [m]\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}[/m] gegen $e$ konvergiert, erhältst du dann tatsächlich $1$ als Grenzwert deiner Folge [m](x_n)_{n \in \IN}[/m].
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
Danke an den ersten Marcel, ich werde deine/meine Lösung nehmen und noch irgendwie zeigen, dass die Folge monoton wächst. Ich denke mal das wird reichen.
Danke an den 2. Marcel du hast mir den zweiten Teil jetzt ziemlich einfach gemacht, da ich hier nämlich zeigen sollte:
[m] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}=e^{-1}[/m]
Dies fällt mir nun denkbar leicht.
Das hier: [m]\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}[/m] haben wir in der Vorlesung bewiesen ich bräuchte ja nur den Beweis etwas umschreiben für minus statt plus.
Gruß und Frohe Weihnachten
Shaguar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:16 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
habe jetzt die Monotonie folgendermaßen bewiesen mit dem Tip vom Tutor, dass wenn [m]a_n \le b_n[/m] gilt auch [m]\forall n \in \IN \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \le \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/m].
[mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] kann ich ja folgendermaßen definieren:
[m]a_n = (1-\bruch{1}{n^2})^n [/m]
[m]b_n = (1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1} [/m]
Dadurch ergibt sich ja das gleiche was ich sowieso für die Monotonie zeigen soll nämlich:
[m](1-\bruch{1}{n^2})^n \le (1-\bruch{1}{(n+1)^2})^{n+1}[/m]
Dass [mm] a_n \le b_n [/mm] sieht man ja sofort durch die höhere Potenz. Und das die Limites gleich sind ist ja dann im Endeffekt auch logisch, da das n ja gegen [mm] \infty [/mm] läuft und es hier dann nicht mehr auf eins mehr oder weniger ankommt, man aber doch gezeigt hat, dass [mm] a_n \le b_n [/mm] und somit die steigende Monotonie von [mm] a_n [/mm] selber.
Ist das jetzt wirklich so einfach oder habe ich hier Schlüsse gezogen, die ich gar nicht ziehen darf?
Vielen Dank an denjenigen, der mir meinen Gedankengang ein wenig korrigiert.
Gruß Shaguar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Do 16.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich sehe nicht, wie das zum Ziel führen soll. Und so schnell sieht man die Monotonie nicht. Halte dich lieber an den Tip von Marcel, der ist super! 
Viele Grüße
Stefan
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