Grenzwert von Summe / Integral < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Do 24.01.2008 | | Autor: | Blacky |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{\wurzel(n^2-k^2)}{n^2} [/mm] |
Guten Tag,
ich weiß bereits, das als Ergebnis die Fläche eines Viertelkreises also [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] rauskommen soll, aber ich kann nicht nachvollziehen wie man darauf kommt.
Also mein Ansatz ist: [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{n}\wurzel(1-({\bruch{k}{n}})^2) [/mm] so dass ich etwas der Form [mm] \wurzel(1-x^2) [/mm] habe, was ja schon an die Zielfunktion erinnert. Nun weiß ich aber leider nicht wie ich das als Integral schreiben soll und in welchen Grenzen. Wie muss ich genau vorgehen und welche Überlegungen stellt man an?
grüße, christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Do 24.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich würde Deine Idee vielleicht andersherum aufziehen, im Grunde ist alles da, was Du brauchst:
Betrachte [mm] $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ [/mm] für $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$.
Nun kann man mittels Riemannsummen (der Riemannschen Obersumme/Untersumme) das Integral approximieren, z.B. erhälst Du (vgl. Wiki: ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Riemann-IntegralEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
) die Formel für die Obersumme der äquidistanten Zerlegung $Z_n$ des Intervalls $[0,1]$ in $n$ gleich große Stücke dann hier:
$\integral_0^1 f(x)dx=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n {\frac{1}{n}*\sqrt{1-\left(\frac{k-1}{n}\right)^2}}$
Das heißt, man approximiert $\integral_0^1 f(x)dx=\integral_0^1 \sqrt{1-x^2}dx$ mittels den Summen $\sum_{k=1}^n {\frac{1}{n}*\sqrt{1-\left(\frac{k-1}{n}\right)^2}}$ ($n \in \IN$).
Mache bei diesen Summen noch einen Indexshift:
$\sum_{k=1}^n {\frac{1}{n}*\sqrt{1-\left(\frac{k-1}{n}\right)^2}=\sum_{m=0}^{n-1} {\frac{1}{n}*\sqrt{1-\left(\frac{m}{n}\right)^2}$
und wegen
$\sum_{m=0}^{n-1} {\frac{1}{n}*\sqrt{1-\left(\frac{m}{n}\right)^2}=O(Z_n) \to \integral_0^1 f(x)dx=\integral_{0}^{1} \sqrt{1-x^2}dx$ ($n \to \infty$)
folgt dann die Behauptung (sofern bekannt ist oder auf einem anderen Wege bereits gezeigt wurde, dass das Integral rechterhand den Wert $\frac{\pi}{4}$ hat).
Hierbei ist zu beachten:
Die Formel für $O(Z_n)$ folgt aus dem Link von Wikipedia, wenn man beachtet, dass $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ auf $[0,1]$ stetig und streng monoton fallend ist.
P.S.:
Sorry, ich hatte vorhin die $\sqrt{.}$ unter der Summe einmal vergessen, das aber kopiert und so hat sich der Fehler dann durchgezogen. Ich hoffe, jetzt nichts "verpatzt" zu haben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Do 24.01.2008 | | Autor: | Blacky |
Hallo Marcel, vielen Dank für deine Antwort, das konnte ich gut nachvollziehen.
gruß, christoph
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