Grenzwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:30 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
| Aufgabe | Bestimme gegebenenfalls den Grenzwert
[mm] a_n [/mm] = [mm] (\bruch{n^2 - 1}{n^2})^n [/mm] |
Hallo,
ich brauche mal Eure Hilfe bei der Aufgane. Ich weiss hier nicht, wie ich anfangen soll, denn bei dieser Grenzwertbetrachtung fehlt mir der Ansatz zur ersten Umformung.
Bitte um Eure Unterstützung.
gruss,
X-Metal
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Hallo X-Metal!
[mm] $$a_n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n^2 - 1}{n^2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(\bruch{n+ 1}{n}\right)*\left(\bruch{n - 1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:18 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo Roadrunner,
also die binomische Formel hätte ich sehen müssen, Mist, wer lesen kann ist klar im Vorteil :D
Aber bringt mir das in dem Fall was?? Weil das ja alles noch hoch n geht??
Mit einer kleinen Wertetabelle, also 1, 2,... wird das Ergebnis ja immer kleiner und ich würde sagen, der Grenzwert läuft gegen Null.
Liege ich hier falsch??
gruss,
X-Metal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Do 29.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es wird eher nicht gegen Null laufen. Teile doch mal beide Brüche, die du in der Klammer stehen hast auf, so dass dann da steht n/n + 1/n etc. Dann schaue, was passiert, wenn n gegen unendlich läuft.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Alles klar,
der Grenzwert läuft dann wohl eher gegen 1, wenn man den Index gegen unendlich laufen lässt.
Habs mit der Wertetabelle gemacht.
Oder liege ich hier wieder nicht richtig??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Do 29.11.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo X-Metal!
Den Grenzwert erhalte ich nicht unbedingt. Und Du sollst das bestimmt auch rechnerisch lösen.
Kennst Du folgenden Grenzwert: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \exp(\red{x}) [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{x}}$ [/mm] ?
Damit kannst Du Deinen Grenzwert ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo roadrunner,
also jetzt bin ich verwirrt. Ich habs nach dem Hinweis von Kroni gemacht, wenn ich die Brüche auseinandergezogen habe. Und die ersten Werte steigen auf von 0,56 bis 0,81 und steigen weiter. Nähern sich also der 1 mit laufendem Index.
Wie berechne ich das, was Du mir da gezeigt hast, denn so weit sind wir in der Vorlesung noch nicht gekommen? Kannst Du mir hier ausnahmsweise mal eine Vorrechnung geben??
gruss,
X-Metal
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Hallo X-Metal!
$$ [mm] a_n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n^2 - 1}{n^2}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(\bruch{n+ 1}{n}\right)\cdot{}\left(\bruch{n - 1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \left[\left(1+\bruch{1}{n}\right)\cdot{}\left(1+\bruch{ - 1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ = \ [mm] \blue{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}\cdot{}\green{\left(1+\bruch{ - 1}{n}\right)^n} [/mm] \ [mm] \longrightarrow [/mm] \ [mm] \blue{e^1}*\green{e^{-1}} [/mm] \ = \ ...$$
Ups, ich sehe nun: Du hast Recht mit dem Grenzwert $1_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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ich dachte schon, ich mache nur mist, aber mit dem tip von kroni und dem weiteren brüche auseinanderziehen ging es dann, soweit ich es verstehe
