Folge, explizit & rekursiv < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll ohne Vollständige Induktion zeigen, das sich aus der expliziten die rekursive Beschreibung ergibt.
rekursiv: [mm] a_{1} [/mm] = 1 [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + 8(n-1)
explizit: [mm] b_{n} [/mm] = [mm] (2n-1)^{2}
[/mm]
Also [mm] b_{1} [/mm] = 1 = [mm] a_{1} [/mm] .
Und der Abstand zweier Glieder ist immer
rekursiv: [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] = 8(n-1)
explizit: [mm] b_{n} [/mm] - [mm] b_{n-1}= (2n-1)^{2} [/mm] - [mm] (2n-3)^{2}
[/mm]
= [mm] 4n^{2}-4n+1-\left(4n^{2}-12n+9\right)
[/mm]
= 8(n-1)
So weit, so gut. Mein Problem ist, wenn ich bei der expliziten Folge einsetze:
[mm] b_{n+1} [/mm] - [mm] b_{n}= (2(n+1)-1)^{2} [/mm] - [mm] (2n-1)^{2}
[/mm]
= [mm] (2n+1)^{2} [/mm] - [mm] (2n-1)^{2}
[/mm]
= [mm] 4n^{2} [/mm] + 4n + 1 - [mm] \left(4n^{2} - 4n + 1\right)
[/mm]
= 8n
Habe ich mich verrechnet? Es sollte eigentlich dasselbe herauskommen. Besten Dank für eine Aufklärung.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Verrechnet hast du dich nicht. Aber da du überall (n+1) statt n eingesetzt hast, ist das beim Ergebnis auch der Fall.
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Hallo,
> Verrechnet hast du dich nicht. Aber da du überall (n+1)
> statt n eingesetzt hast, ist das beim Ergebnis auch der
> Fall.
Ich meine, ich habe einmal (n-1) eingesetzt und in der anderen expliziten Formel (n+1).
Sorry, aber ich seh meinen Fehler immer noch nicht.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Martinius!
Für $b_n-b_{n-1}$ und $b_{n+1}-b_n$ muss nicht dasselbe herauskommen, da schließlich die entsprechende Differenz nicht konstant ist (diese Differenz hängt schließlich von $n_$ ab).
Und Du hast Dich auch nicht verrechnet.Mit $\Delta_n \ := \ b_n-b_{n-1} \ = \ ... \ = \ 8*(n-1)$ muss für $Delta_{n+1}$ auch herauskommen:
$$\Delta_{\red{n+1}} \ = \ b_{\red{n+1}}-b_{\red{n+1}-1} \ = \ b_{n+1}-b_n \ = \ 8*(\red{n+1}-1}) \ = \ 8*n$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Mo 29.10.2007 | | Autor: | statler |
> Hallo,
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> ich soll ohne Vollständige Induktion zeigen, das sich aus
> der expliziten die rekursive Beschreibung ergibt.
>
> rekursiv: [mm]a_{1}[/mm] = 1 [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] + 8(n-1)
>
> explizit: [mm]b_{n}[/mm] = [mm](2n-1)^{2}[/mm]
>
>
> Also [mm]b_{1}[/mm] = 1 = [mm]a_{1}[/mm] .
Das stimmt zwar, aber es ist auch [mm] b_{1} [/mm] = 1 = [mm] a_{2}. [/mm] Die Folge der b's ist eine Teilfolge der a's, es ist eben [mm] b_{n} [/mm] = [mm] a_{n+1}.
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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