Extrema, Fkt. mit 2 Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der Funktion
[mm] f(x,y)=\wurzel{1-x²-y²}+x²-2y² [/mm] |
Nunja, die notwendige Bed. für Extremstellen ist ja, dass alle 1. Ableitungen 0 werden müssen.
[mm] f_{x}=\bruch{-x}{\wurzel{1-x²-y²}}+2x
[/mm]
[mm] f_{y}=\bruch{-y}{\wurzel{1-x²-y²}}-4y
[/mm]
-> [mm] x_{0}=0 y_{0}
[/mm]
Allerdings soll es 3 Punkte geben, ich hab aber keine Ahnung wie ich auf die 2 anderen kommen soll :(.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Fr 20.07.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo
Tipp: Klammern Sie x bzw. y bei den partiellen Ableitungen aus. Dann wird das ganze um einiges einfacher.
Gruß
Reinhold
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> Ermitteln Sie alle Extremwerte und Sattelpunkte der
> Funktion
> [mm]f(x,y)=\wurzel{1-x²-y²}+x²-2y²[/mm]
> Nunja, die notwendige Bed. für Extremstellen ist ja, dass
> alle 1. Ableitungen 0 werden müssen.
> [mm]f_{x}=\bruch{-x}{\wurzel{1-x²-y²}}+2x[/mm]
>
> [mm]f_{y}=\bruch{-y}{\wurzel{1-x²-y²}}-4y[/mm]
>
> -> [mm]x_{0}=0 y_{0}[/mm]
>
> Allerdings soll es 3 Punkte geben, ich hab aber keine
> Ahnung wie ich auf die 2 anderen kommen soll :(.
Hi,
Oder lös' doch einfach die obere Gleichung mal nach $x$ auf:
[mm] $$\bruch{-x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}+2x=0\quad\gdw\quad -x+2x*\sqrt{1-x^2-y^2}=0\quad\gdw\quad -x=-2x*\sqrt{1-x^2-y^2}\quad\gdw\quad x^2=4x^2*\left(1-x^2-y^2\right)\quad\gdw\quad x^2=4x^2-4x^4-4x^2y^2\quad\gdw\quad 4x^4-\left(3+4y^2\right)x^2=0$$
[/mm]
Jedes der Ergebnisse erst per Probe auf Richtigkeit überprüfen (da Quadrieren keine Äquivalenzumformung) und in die zweite Gleichung einsetzen.
Grüße, Stefan.
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Also jetzt die andere Ableitung nach einer Variable auflösen, dann einsetzen? Da kommt bei mir nix gescheites raus :(.
(hier dürfte man doch durch x/y teilen, da 0/0 ja schon gefunden wurde?!)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Fr 20.07.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Posten Sie doch mal Ihren Rechenweg.
Dann können wir auch vielleicht sagen, wo der Fehler liegt.
Gruß
Reinhold
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> Also jetzt die andere Ableitung nach einer Variable
> auflösen, dann einsetzen? Da kommt bei mir nix gescheites
> raus :(.
>
Hallo,
hast Dir dennaus [mm] 4x^4-\left(3+4y^2\right)x^2=x^2(4x^2-4y^2-3)=0 [/mm] die möglichen x errechnet?
Wie lauten sie?
Gruß v. Angela
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Also der letzte Term wird 0, wenn (mind.) einer der Faktoren Null wird, d.h.
4x²-4y²-3=0
[mm] x=\wurzel{3/4+y²}
[/mm]
y² wird nie 0, aber so richtig bringt mir die Aussage doch nix?
gut, ich könnte das wieder einsetzen in die 2. Ableitung
[mm] 0=-y-4y(\wurzel{1-3/4)}
[/mm]
=-3y ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 20.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi studenticus!
> Also der letzte Term wird 0, wenn (mind.) einer der
> Faktoren Null wird, d.h.
> 4x²-4y²-3=0
> [mm]x=\wurzel{3/4+y²}[/mm]
>
> y² wird nie 0, aber so richtig bringt mir die Aussage doch
> nix?
Warum sollte [mm]y^2 [/mm] nie Null werden?
> gut, ich könnte das wieder einsetzen in die 2. Ableitung
>
> [mm]0=-y-4y(\wurzel{1-3/4)}[/mm]
> =-3y ?
Richtig, aber nicht mitten in der Rechnung aufhören! Setze y ein und rechne x aus. Damit hast du den 2. Punkt.
Und wenn du mit der anderen Gleichung anfängst und zuerst nach y auflöst, bekommst du den 3. Punkt.
Grüße
Rainer
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Ach, ich meinte nie negativ =)
Danke für die Hinweise, werde es probieren.
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