Existenzen herleiten < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Sa 31.05.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Leiten Sie für gegebene Mengen X und Y die Existens der folgenden Mengen aus den Axiomen von ZF (ohne das Unendlichkeitsaxiom) her.
1. X x Y = {(x,y) : x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y}
[mm] 2.X^Y [/mm] = {f : f:X -> Y Funktion} |
Hallo zusammen ^^
ich hab leider kein Plan wie ich die axiome so zurechtdeichseln kann, dass was vernünftiges bei rauskommt :-((((
das zweite muss man doch iwie mit dem Auswahlaxiom hinkriegen, da es sich doch eine Funktion f finden lässt, die X nach Y abbildet oder?
beim ersten hätte ich gedacht es handelt sich um's geordnete paar der mengen X,Y, was muss hierzu gezeigt werden??
lg
ben
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> Leiten Sie für gegebene Mengen X und Y die Existens der
> folgenden Mengen aus den Axiomen von ZF (ohne das
> Unendlichkeitsaxiom) her.
> 1. $X [mm] \times [/mm] Y = [mm] \{(x,y) : x \in X, y \in Y\}$
[/mm]
> 2. [mm] $\red{X^Y} [/mm] = [mm] \{f : f:X -> Y Funktion\}$
[/mm]
Ich denke, dies ist falsch geschrieben und sollte eigentlich [mm] $\red{Y^X} [/mm] = [mm] \{f : f:X -> Y Funktion\}$ [/mm] sein.
> Hallo zusammen ^^
> ich hab leider kein Plan wie ich die axiome so
> zurechtdeichseln kann, dass was vernünftiges bei rauskommt
> :-((((
Du musst schauen, wie das geordnete Paar $(x,y)$ als Menge definiert ist. Dann versuchst Du zu zeigen, dass alle solchen Mengen $(x,y)$ mit [mm] $x\in [/mm] X$ und [mm] $y\in [/mm] Y$ in einer Menge (gemäss ZF) enthalten sind und schliesslich kannst Du das Aussonderungsaxiom (Teilmengenaxiom) verwenden, um zu zeigen, dass [mm] $X\times [/mm] Y$ in ZF eine Menge ist. D.h. Du weist zunächst nach, dass es eine Obermenge von [mm] $X\times [/mm] Y$ in ZF gibt, und sonderst dann [mm] $X\times [/mm] Y$ aus der Obermenge aus.
> das zweite muss man doch iwie mit dem Auswahlaxiom
> hinkriegen, da es sich doch eine Funktion f finden lässt,
> die X nach Y abbildet oder?
Tipp: Man kann eine Funktion [mm] $f:X\rightarrow [/mm] Y$ als eine Teilmenge von [mm] $X\times [/mm] Y$ mit einer gewissen zusätzlichen Eigenschaft ("Rechtseindeutigkeit") auffassen (sog. "mengentheoretische Reduktion des Funktionsbegriffs"). Somit ist [mm] $Y^X$ [/mm] eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] $X\times [/mm] Y$. Sobald Du also Teilaufgabe 1 gelöst hast, kannst Du mittels Aussonderungsaxiom [mm] $Y^X$ [/mm] als Menge in ZF nachweisen.
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