Existenz eines Minimums < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 So 19.06.2005 | | Autor: | kluh |
Hallo Leute,
für die folgende Aufgabe finde ich leider keinen Ansatz. Wäre super, wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte, wie ich die Aufgabe angehen könnte.
Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] f(x)= [mm] \parallel [/mm] x-a [mm] \parallel_{2} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x-b [mm] \parallel_{2} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] x-c [mm] \parallel_{2}
[/mm]
wobei a, b, c drei verschiedene Punkte des [mm] \IR^{2} [/mm] sind.
Zeigen Sie:
i) Es existiert ein absolutes Minimum [mm] x_{0} [/mm] von f.
ii) Falls [mm] x_{0} \not\in [/mm] {a, b, c} ist und [mm] \alpha, \beta, \gamma \in S^{1} [/mm] = { x [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} [/mm] = 1} in Richtung von [mm] a-x_{0}, b-x_{0}, c-x_{0} [/mm] weisen, so gilt:
[mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 0
iii) Der Punkt [mm] x_{0} [/mm] liegt auf dem Abschluss des Dreiecks mit den Eckpunkten a, b, c
Bitte gebt mir wirklich nur Tipps...
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wegen $f(x) [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert_2 [/mm] - [mm] \Vert [/mm] a [mm] \Vert_2 [/mm] - [mm] \Vert [/mm] b [mm] \Vert_2 [/mm] - [mm] \Vert [/mm] c [mm] \Vert$ [/mm] gilt:
[mm] $\lim\limits_{\Vert x \Vert \to + \infty} [/mm] f(x) = + [mm] \infty$.
[/mm]
Wähle $R>0$ so, dass
$|f(x)| [mm] \ge [/mm] f(0)$
für alle $x [mm] \in IR^2$ [/mm] mit $|x|>R$. Dann nimmt die stetige Funktion $f$ ihr Minimum auf der kompakten Menge [mm] $\overline{D_R(0)}=\{x \in \IR^2\, :\, \Vert x \Vert \le R\}$ [/mm] an, und dies ist auch das globale Minimum von $f$ nach Wahl von $R$.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:58 Fr 24.06.2005 | | Autor: | matux |
Hallo kluh!
Wir bedauern, dass Deine Frage nicht in der von dir eingestellten Fälligkeitszeit beantwortet wurde.
Der wahrscheinlichste Grund dafür ist, dass ganz einfach niemand, der dir hätte helfen können, im Fälligkeitszeitraum online war. Bitte bedenke, dass jede Hilfe hier freiwillig und ehrenamtlich gegeben wird.
Wie angekündigt gehen wir nun davon aus, dass du an einer Antwort nicht mehr interessiert bist. Die Frage taucht deswegen nicht mehr in der Liste der offenen Fragen, sondern nur noch in der Liste der Fragen für Interessierte auf.
Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist, stelle einfach eine weitere Frage in dieser Diskussion.
Wir wünschen dir beim nächsten Mal mehr Erfolg! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
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