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| Aufgabe | | Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die Darstellung von [mm] $(\cos{(x)})^n$ [/mm] und [mm] $(\sin{(x)})^n$ [/mm] als Linearkombination der funktionen $1, [mm] \cos{(x)}, \sin{(x)}, \cos{(2x)}, \sin{(2x)}, [/mm] ..., [mm] \cos{(nx)}, \sin{(nx)}$, [/mm] d.h. als endliche Summe dieser Funktionen mit reellen Koeffizienten. |
Also ich hab mich damit jetzt mal eingehend beschäftigt aber mir fehlt einfach der letzte Schritt.
Ich fange mal mit sinus an um zu zeigen wo mein Problem liegt.
[mm] $\sin{(x)}^n [/mm] \ = \ [mm] Im(e^{ix})^n [/mm] \ = \ [mm] \left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right )^n [/mm] \ = \ [mm] \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (\frac{e^{ix}}{2i} \right )^{n-k} \left (\frac{e^{-ix}}{2i} \right )^{k} (-1)^k [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (e^{ix}\right )^{n-k} \left (e^{-ix}\right )^{k} (-1)^k [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k$
[/mm]
nun wollte ich eigentlich auf den Eulerschen Satz hinaus:
$ [mm] e^{ix} [/mm] = [mm] \cos{(x)} [/mm] + i [mm] \sin{(x)}$
[/mm]
Aber das half irgendwie nicht weiter wegen dem i.
Nun habe ich im Internet nachrecherchiert und bin darauf gestoßen das folgendes gilt: (zumindest Behauptet er das einfach, ohne weiter zu begründen)
[mm] $\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k [/mm] = [mm] \left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \cos{((n-2k)x)}& \quad, fuer\ gerade\ n\\
\frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \sin{((n-2k)x)} & \quad, fuer\ ungerade\ n
\end{matrix}\right.$
[/mm]
Für gerade n betrachtet er also nur den reellen Teil, für ungerade dagegen nur den imaginären Teil, aber mit i.
Ich weiß das man auch sagt, der Kosinus sei gerade und der Sinus ungerade aber irgendwie versteh ich das nicht.
Weiß jemand einen Rat?
Für [mm] $\cos^n{x}$ [/mm] stoß ich auf das selbe Problem.
Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.
LG André
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Hallo Highchiller,
> Berechnen Sie mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes die
> Darstellung von [mm](\cos{(x)})^n[/mm] und [mm](\sin{(x)})^n[/mm] als
> Linearkombination der funktionen [mm]1, \cos{(x)}, \sin{(x)}, \cos{(2x)}, \sin{(2x)}, ..., \cos{(nx)}, \sin{(nx)}[/mm],
> d.h. als endliche Summe dieser Funktionen mit reellen
> Koeffizienten.
> Also ich hab mich damit jetzt mal eingehend beschäftigt
> aber mir fehlt einfach der letzte Schritt.
> Ich fange mal mit sinus an um zu zeigen wo mein Problem
> liegt.
>
> [mm]\sin{(x)}^n \ = \ Im(e^{ix})^n \ = \ \left ( \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \right )^n \ = \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (\frac{e^{ix}}{2i} \right )^{n-k} \left (\frac{e^{-ix}}{2i} \right )^{k} (-1)^k \ = \ \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left (e^{ix}\right )^{n-k} \left (e^{-ix}\right )^{k} (-1)^k \ = \ \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k[/mm]
>
> nun wollte ich eigentlich auf den Eulerschen Satz hinaus:
> [mm]e^{ix} = \cos{(x)} + i \sin{(x)}[/mm]
> Aber das half irgendwie
> nicht weiter wegen dem i.
>
> Nun habe ich im Internet nachrecherchiert und bin darauf
> gestoßen das folgendes gilt: (zumindest Behauptet er das
> einfach, ohne weiter zu begründen)
Die linke Seite der Gleichung ist für [mm]x \in \IR[/mm] ebenfalls reell.
Daher muss der Imaginärteil der rechten Seite verschwinden.
>
> [mm]$\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k[/mm]
> = [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \cos{((n-2k)x)}& \quad, fuer\ gerade\ n\\
\frac{1}{(2)^n \cdot (-1)^{\frac{n-1}{2}}} \ \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k \sin{((n-2k)x)} & \quad, fuer\ ungerade\ n
\end{matrix}\right.$[/mm]
>
> Für gerade n betrachtet er also nur den reellen Teil, für
> ungerade dagegen nur den imaginären Teil, aber mit i.
> Ich weiß das man auch sagt, der Kosinus sei gerade und
> der Sinus ungerade aber irgendwie versteh ich das nicht.
>
> Weiß jemand einen Rat?
> Für [mm]\cos^n{x}[/mm] stoß ich auf das selbe Problem.
> Vielen Dank schon einmal für die Hilfe.
>
> LG André
Gruss
MathePower
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Das verstehe ich nicht.
Ich betrachte n und weiß auch, dass für gerade n das i vor der Summe verschwindet, aber wieso betrachte ich dann nur den Realteil auf der rechten Seite?
Für ungerade n bleibt genau ein i vor der Summe stehen, dass sich dann mit dem i vom Imaginärteil in der Summe wegkürzt. Zurück bleibt der Imaginärteil für ungerade n.
Mit deiner Hilfe konnte ich leider nicht viel anfangen. Tut mir Leid.
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Hallo Highchiller,
> Das verstehe ich nicht.
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> Ich betrachte n und weiß auch, dass für gerade n das i
> vor der Summe verschwindet, aber wieso betrachte ich dann
> nur den Realteil auf der rechten Seite?
Nun, weil [mm]\sin^{n}\left(x\right)[/mm] reell ist.
> Für ungerade n bleibt genau ein i vor der Summe stehen,
> dass sich dann mit dem i vom Imaginärteil in der Summe
> wegkürzt. Zurück bleibt der Imaginärteil für ungerade
> n.
Die rechte Seite kann doch so geschrieben werden:
[mm]\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} e^{i(n-2k)x} (-1)^k =\frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left( \ \cos\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) + i\sin\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) \ \right) (-1)^k[/mm]
Aus obigem Grund betrachtest Du hier
[mm]\operatorname{Re}\left( \ \frac{1}{(2i)^n} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} \left( \ \cos\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) + i\sin\left( \ \left(n-2k\right)x \ \right) \ \right) (-1)^k \ \right)[/mm]
>
> Mit deiner Hilfe konnte ich leider nicht viel anfangen. Tut
> mir Leid.
Gruss
MathePower
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Ahhhh...
und für gerade n bleibt der Realteil genau der Kosinus, für ungerade dagegen kürzt sich das i weg, stellt sich dafür aber zum Kosinus was dazu führt das der Sinus der reelle Teil ist.
Uff... Vielen Dank, das hät ich nie gesehen.
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