Erwartungswert quadr. stoch P < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo habe folgenden stoch Prozess
[mm] dX_t= -f_t X_t [/mm] dt + [mm] f_t dW_t [/mm] (f ist deterministisch, kleiner 1) und W die BB.
Gezeigt werden soll:
[mm] E[\int_0^T X_t^2 [/mm] dt]< [mm] \infty [/mm] |
Produktregel ergibt
[mm] X_t^2 [/mm] = [mm] -X_0^2 [/mm] - 2 [mm] \int_0^t X_s^2 f_s [/mm] ds + 2 [mm] \int_0^T f_s X_s dW_s [/mm] + [mm] f_s^2 [/mm] ds
hier ist alles kleiner [mm] \infty [/mm] außer - 2 [mm] \int_0^t X_s^2 f_s [/mm] ds + 2 [mm] \int_0^t f_s X_s dW_s...
[/mm]
mit Fubini kann ich noch schreiben
[mm] E[\int_0^T X_t^2 dt]=\int_0^T E[X_t^2] [/mm] dt
aber dann ist auch schon schluss. wie zeige ich dass
[mm] \int_0^T [/mm] E[ - 2 [mm] \int_0^t X_s^2 f_s [/mm] ds + 2 [mm] \int_0^t f_s X_s dW_s] [/mm] dt < [mm] \infty
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 So 07.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hiho,
dass ich da nicht eher drauf gekommen bin......
Sei [mm] $\mu(t,x) [/mm] = f_tx, [mm] \sigma(t,x) [/mm] = [mm] f_t$, [/mm] dann hast du eine SDE der Form:
[mm] $dX_t [/mm] = [mm] \mu(t,X_t)dt [/mm] + [mm] \sigma(t,X_t)dW_t$
[/mm]
Was sagt dir jetzt die Lösungstheorie der SDEs dazu?
MFG,
Gono.
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ich könnte es mit der Langevin Gleichung lösen zu
[mm] X_t [/mm] = [mm] \exp \left(\int_0^t \mu_s ds \right) [/mm] * [mm] \left(X_0 + \int_0^t \exp (-\int_0^t \mu_s ds) \sigma_s dW_s \right)
[/mm]
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Hiho,
> ich könnte es mit der Langevin Gleichung lösen
das mag sein, wollte ich aber nicht drauf hinaus.
Du musst eigentlich gar nichts mehr umformen..... es geht mir vielmehr darum:
Eine SDE der Form [mm] $dX_t [/mm] = [mm] \mu(t,X_t)dt [/mm] + [mm] \sigma(t,X_t)dW_t$ [/mm] hat unter der Lipschitz- und Wachstumsbedingung eine Lösung mit welchen Eigenschaften?
Wenn du dir die Eigenschaften klar machst, bist du fertig.
MFG,
Gono.
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ich weiß nur dass die lösung dann eindeutig ist aber was für eigenschaften gibt es noch ?
Mit Lipschitz und wachstumsbedingung gilt, dass X in [mm] L^2 [/mm] richtig?
Und dadurch dann [mm] EX_t^2 <\infty
[/mm]
Aber wieso kann ich Lipschitz und wachstumsbedingung annehmen?
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Hiho,
> ich weiß nur dass die lösung dann eindeutig ist
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
D.h. es ist also wirklich dein [mm] X_t
[/mm]
> Mit Lipschitz und wachstumsbedingung gilt, dass X in [mm]L^2[/mm] richtig?
> Und dadurch dann [mm]EX_t^2 <\infty[/mm]
Es gilt sogar noch mehr, nämlich:
[mm] $\sup_{t\ge 0} EX_t^2 <\infty$
[/mm]
> Aber wieso kann ich Lipschitz und wachstumsbedingung annehmen?
Ja, zeige es doch!
Dein [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma [/mm] erfüllen das doch gerade.
Ums nachrechnen, dass sie das tun, wirst du nicht drum rum kommen (das sind aber jeweils zweizeiler....)
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Fr 12.10.2012 | | Autor: | torstentw |
Logisch danke :)
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| Aufgabe | Eine Anschlussfrage noch:
Ich würde trotzdem gerne den Erwartungswert von [mm] X_t [/mm] bestimmen:
[mm] E[X_t] [/mm] = [mm] X_0 [/mm] - [mm] \int_0^t [/mm] E [mm] [f_s X_s] [/mm] ds |
Mit stochastischem Exponential ergibt sich
[mm] E[X_t] [/mm] = [mm] X_0 [/mm] exp ( - [mm] \int_0^t f_s [/mm] ds)
richtig?
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Hiho,
> Mit stochastischem Exponential ergibt sich
Auch ohne komm ich auf die gleiche Lösung 
MFG,
Gono.
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