Eigenwerte und char. Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 01.05.2005 | | Autor: | proxi |
Hallo ihr!
Hänge bei einer Aufgabe ziemlich. Mien Problem ist glaube ich, dass ich nicht weiß, was ich aus der Voraussetzung genau zu benutzen habe... Hier ist sie:
Sei A eine reelle (n,n)-Matrix, deren char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie:
a) Ist 1 einziger EW von a und Dim des zugehörigen Eigenraums =1, so sind A und [mm] A^2 [/mm] ähnlich.
b) Ist A regulär und sind A und [mm] A^2 [/mm] ähnlch, so ist 1 einziger EW.
Und nun meine (zugegebenermaßen etwas dürftigen...) Überlegungen:
a) ich weiß, dass:
A und [mm] A^2 [/mm] haben das gleiche char. Pol. und zwar p [mm] =-1^n (1-x)^n.
[/mm]
minimalpol. von A ist damit m=(x-1)°^s mit s zwischen 1 und n.
dim (A-E) = 1.
und zeigen muss ich, dass es eine Matrix S gibt, so dass A=SA^2S^-1.
Nur erschließt sich für mich kein Zusammenhang zwischen den Voraussetzungen und dem was ich zeigen möchte. Speziell mit der Dimension des Eigenraumes kann ich irgendwie nichts anfangen.
und bei der b) ist vorausgesetzt die Existenz von A^-1 und von einem S wie oben, aber hier komme ich auch nicht wirklich weiter.
Wäre euch für jede Hilfe sehr dankbar! :)
Gruß, Matej
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Matej!
> a) ich weiß, dass:
> A und [mm]A^2[/mm] haben das gleiche char. Pol. und zwar p > [mm]=-1^n (1-x)^n.[/mm]
Nein.
A ist ähnlich zu einer nxn-Nullmatrix mit nur einer Eins auf der Hauptdiagonalen. Also ist das char. Polynom [mm] $\chi_{A} (\lambda)=(1-\lambda)*(-\lambda)^{n-1}$.
[/mm]
Wenn du noch Hilfe brauchst (die Frage ist mittlerweile abgelaufen), melde dich nochmal, weil die Antwort doch ein bisschen Arbeit macht und mathematisch nicht sehr ergiebig ist.
Liebe Grüße,
Andreas
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