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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mi 01.04.2009 | | Autor: | mambo |
| Aufgabe | Hallo, ich habe gerade ein Problem mit dem Berechnen von Eigenvektoren.
Wie die einzelne Berechnung Funktioniert ist mir klar, jedoch komme ich an einem Punkt nicht weiter.
Wenn ich meine Matrix mit Gauss Alg. fertig habe, habe ich genau eine Zeile und dann zwei Nullzeilen. --> Bedeutet für mich ich kann zwei Parameter frei wählen. Jedoch komm ich nie auf die Eigenvektoren wie sie bei der Lösung angegeben sind.
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
jetzt weiß ich aber absolut nicht weiter.
Die oben genannte Matrix, ist schon die, wo ich die Eigenwerte abgezogen habe. sprich ich habe jetzt nur noch
[mm] -1x_{1}-2x_{2}3x_{3} [/mm] stehen. kann nun laut meinem Buch hier 2 Parameter selbst wählen. Wenn ich das tu, kommt aber bei [mm] x_{1} [/mm] schon etwas heraus vom Typ mit zwei Parametern. Jedoch steht in der Lösung eine Zahl
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Könnte mir das Bitte jemand erklären mit den zwei unbekannten?
Vielen dank.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo, ich habe gerade ein Problem mit dem Berechnen von
> Eigenvektoren.
> Wie die einzelne Berechnung Funktioniert ist mir klar,
> jedoch komme ich an einem Punkt nicht weiter.
>
> Wenn ich meine Matrix mit Gauss Alg. fertig habe, habe ich
> genau eine Zeile und dann zwei Nullzeilen. --> Bedeutet für
> mich ich kann zwei Parameter frei wählen. Jedoch komm ich
> nie auf die Eigenvektoren wie sie bei der Lösung angegeben
> sind.
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wenn ich das alles recht verstehe, hast Du völlig unabhängig von irgendwelchen Eigenraumberechnungen das Problem, daß Du den Kern von Matrizen nicht oder nicht in jedem Fall bestimmen kannst.
> jetzt weiß ich aber absolut nicht weiter.
>
> Die oben genannte Matrix, ist schon die, wo ich die
> Eigenwerte abgezogen habe. sprich ich habe jetzt nur noch
> [mm]-1x_{1}-2x_{2+}3x_{3}[/mm] stehen.
Naja, das wäre nicht aussagestark...
Die Zeile steht für
[mm]-1x_{1}-2x_{2}+3x_{3}[/mm] =0.
> kann nun laut meinem Buch hier
> 2 Parameter selbst wählen. Wenn ich das tu, kommt aber bei
> [mm]x_{1}[/mm] schon etwas heraus vom Typ mit zwei Parametern.
> Jedoch steht in der Lösung eine Zahl
>
> Könnte mir das Bitte jemand erklären mit den zwei
> unbekannten?
Du kannst [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] frei wählen, etwa
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] x_2=s.
[/mm]
Dann ist
[mm] x_{1}= -2x_{2}3x_{3}=-2s [/mm] -3t.
Also haben alle Lösungen [mm] \vec{x} [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-2s -3t\\s\\t}=s*\vektor{-2\\1\\0} +t\vektor{-3\\0\\1}.
[/mm]
Diese beiden Vektoren bilden in Deinem Fall eine Basis des betrachteten Eigenraumes.
Wenn Dein Buch etwas anderes herausbekommt, muß das nicht unbedingt auf einen fehler Deinerseits hindeuten: die Basis ist ja nicht eindeutig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Mi 01.04.2009 | | Autor: | mambo |
Hm, mach ich mal ganz langsam.
Die Ausgangsmatrix war
[mm] \pmat{ -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 }
[/mm]
Davon sollen Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet werden.
Die Eigenwerte habe ich berechnet und habe erhalten;
[mm] x_{1} [/mm] = -3 Mit Vielfachheit 2
[mm] x_{2} [/mm] = 5 Mit Vielfachheit 1
Die Eigenwerte in die Matrix Eingesetzt und nach dem Scheme berechnet.
Dann komme ich bei dem Eigenwert [mm] x_{1} [/mm] auf folgende Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -1 & -2 & 3 }
[/mm]
das nach Gauss Umgestellt
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 3 }
[/mm]
Als Lösung im Buch habe ich einen Eigenvektor von
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{-2 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
So wie du es gemacht hast mit dem Einsetzen der Parameter habe ich es auch aufgeschrieben, aber wie kommt das Buch dann auf so eine Lösung ????
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> Hm, mach ich mal ganz langsam.
> Die Ausgangsmatrix war
> [mm]\pmat{ -2 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -6 \\ -1 & -2 & 0 }[/mm]
>
> Davon sollen Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet werden.
>
> Die Eigenwerte habe ich berechnet und habe erhalten;
> [mm]x_{1}[/mm] = -3 Mit Vielfachheit 2
> [mm]x_{2}[/mm] = 5 Mit Vielfachheit 1
>
> Die Eigenwerte in die Matrix Eingesetzt und nach dem Scheme
> berechnet.
> Dann komme ich bei dem Eigenwert [mm]x_{1}[/mm] auf folgende Matrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -6 \\ -1 & -2 & 3 }[/mm]
> das nach
> Gauss Umgestellt
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & 3 }[/mm]
>
> Als Lösung im Buch habe ich einen Eigenvektor von
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1}[/mm]
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> [mm]\vektor{-2 \\ -3 \\ 1}[/mm]
>
> So wie du es gemacht hast mit dem Einsetzen der Parameter
> habe ich es auch aufgeschrieben, aber wie kommt das Buch
> dann auf so eine Lösung ????
Das ist bis auf den zweiten Vektor alles falsch, das merkst Du ja, wenn Du die Vektoren mit der Matrix multiplizierst. Es müßten doch Vielfache herauskommen.
Die Eigenvektoren zu -3 hatten wir schon zuvor,
Eigenvektor zu 5 ist [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 01.04.2009 | | Autor: | mambo |
Ah ja, stimmt.
ich weiß hab es gerade noch mal neu gerechnet. Bin selbst gerad emit meiner Matrix nicht klar gekommen.
Aber ich weiß nun endlich wie man das schreiben muss, wenn man zwei unbekannte hat. Das hat mir schon viel geholfen. Nun werde ich erst mal die anderen ausrechnen.
Vielen lieben Dank
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