Differenzierbarkeit der p-Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:08 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Gedro |
| Aufgabe | Zeige dass die Funktion
[mm] f_{p}:\IR^n\to \IR, x\mapsto \parallel x\parallel_{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p})^{\bruch{1}{p}} [/mm]
in allen [mm] x\in\IR^{n}\backslash [/mm] {0} differenzierbar ist für [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] p\in (1,\infty). [/mm] |
Hallo,
ich wollte die Differenzierbarkeit über die stetige partielle Differenzierbarkeit zeigen. Stoße dort aber auf ein kleines Problem.
Zu aller erst habe ich gezeigt, dass die Funktion [mm] g(x)=|x|^{p} [/mm] auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig differenzierbar ist für [mm] p\in (1,\infty) [/mm] mit [mm] g'(x)=\begin{cases} p*\bruch{x}{|x|}*|x|^{p-1}, & x \not=0\\ 0, & x=0 \end{cases}.
[/mm]
Somit konnte ich dann die partiellen Ableitungen bestimmen:
[mm] \bruch{\partial f}{x_{i}}(x)=\begin{cases} \bruch{p*\bruch{x_{i}}{|x_{i}|}*|x_{i}|^{p-1}}{(|x_{1}|^{p}+...+|x_{n}|^{p})^\bruch{p-1}{p}}, & x_{i}\not=0 \\ 0, & x_{i} = 0 \end{cases}
[/mm]
Da [mm] x\in\IR^{n}\backslash [/mm] {0} muss ich mir um den Nenner keine Sorgen machen, dass er 0 wird.
Nun möchte ich zeigen, dass die partielle Ableitung stetig ist. Dies klappt auch für alle [mm] x\in\IR^{n}\backslash [/mm] {0} bis auf den Fall, dass wenn [mm] x\in [/mm] ist. Das heisst, dass alle Einträge im Vektor 0 sind, bis auf [mm] x_{i}. [/mm] Dann hätte ich nämlich stehen:
[mm] \bruch{\partial f}{x_{i}}(x) [/mm] = [mm] \bruch{p*\bruch{x_{i}}{|x_{i}|}*|x_{i}|^{p-1}}{(0+...+|x_{i}|^{p}+...+0)^\bruch{p-1}{p}} [/mm] = [mm] \bruch{p*\bruch{x_{i}}{|x_{i}|}*|x_{i}|^{p-1}}{|x_{i}|^{p-1}} [/mm] = [mm] p*\bruch{x_{i}}{|x_{i}|}
[/mm]
Für [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ex. der Grenzwert aber nicht und somit wäre die partielle Ableitung an dieser Stelle auch nicht stetig.
Hat das eventuell etwas damit zu tun, dass ich durch die Limesbetrachtung mich dem Nullvektor annähere, in der die Funktion f nicht partiell differenzierbar ist?
Mache ich irgendwo einen Fehler oder muss ich über einen anderen Ansatz an die Aufgabe dran?
Gruß,
Gedro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 04.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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