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Differenzenquotient: Grenzwertbestimmung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Mo 08.06.2009
Autor: matzebrock

Aufgabe
Gegeben:
[mm] f(x)=\begin{cases} c & \mbox{; } \mbox{ x <= 0} \\ (1+\wurzel{x})/\wurzel{1-x} & \mbox{; } \mbox{0 Existiert die Ableitung an der Stelle x0 = 0?

Hallo, bin arg am Verzweifeln und hoffe hier Hilfe zu finden.
Die o.g. Formel soll mittels Differenzenquotient gelöst werden und der Grenzwert angegeben werden.
Eine zweiseitige Grenzwertbetrachtung macht hier ja Sinn, sodass sich für x<=0 der Grenzwert 0 ergibt.
Für den zweiten Fall komme ich einfach nicht weiter.

[mm] \limes_{\Delta x \rightarrow 0}=((1+\wurzel{x0+\Delta x})/\wurzel{1-x0 - \Delta x}-(1+\wurzel{x0})/\wurzel{1-x0})/\Delta [/mm] x

Wie komme ich nun weiter? Zusammenfassen, Umstellen, Erweitern - habe vieles versucht, nur mit mittelmäßigem Erfolg.
Könnt ihr mir helfen?

Vielen Dank
Matthias

PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Mo 08.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Ich würde hier die h-Methode bevorzugen, also die Form

[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm]

Hier ist [mm] x_{0}=0 [/mm]

Also:

[mm] \limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{x_{0}+h}}{\wurzel{1+(x_{0}+h)}}-\bruch{1+\wurzel{x_{0}}}{\wurzel{1+x_{0}}}}{h} [/mm]

Also mit [mm] x_{0}=0 [/mm]

[mm] \limes_{h\to0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{0+h}}{\wurzel{1+(0+h)}}-0}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{h}}{\wurzel{1+h}}-0}{h} [/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{h}}{\wurzel{1+h}}}{\green{h}} [/mm]

Versuche jetzt, das h im Nenner zu kürzen, so dass du irgendwann h=0 setzen kannst.

Marius



Bezug
                
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 08.06.2009
Autor: matzebrock

Hallo und danke für die Hilfe!
Das hat schon geholfen.
Ich dachte immer, man sollte x0 nicht einsetzen. Aber irgendwie scheint sich bei mir Kopf nach 9 Tagen Mathe non-stop alles zu drehen.
Also Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Mo 08.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Wenn du die allgemeine Ableitung suchst, darfst du natürlich nicht den Wert für [mm] x_{0} [/mm] einsetzen, hier suchst du aber den konkrenten WErt.

Aber danke für die Rückmeldung

Marius

Bezug
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