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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich habe als Aufgabe bei folgender DGL das Fundamentalsystem und später dann einen Ansatz für die Partikulärlösung zu finden.
y''''+2y''+y=0
[mm] y''''+2y''+y=x^2+sin(x)
[/mm]
Als Fundamentalsystem bekomme ich nun { [mm] e^{-ix}; e^{ix};e^{-ix};e^{ix}}
[/mm]
Wolfram Alpha gibt mir aber { sin(x) ; xsin(x) ; cos(x) ,xcos(x) }
Ich weiß das [mm] e^{ix} [/mm] = cos(x)+isin(x) und [mm] e^{-ix}=cos(x)-isin(x)
[/mm]
Aber ich kann mir nicht erklären wie man auf die obige Lösung kommt
Der Ansatz für die Partikulärlösung [mm] f(x)=x^2+sin(x) [/mm] müsste sein:
[mm] (a0+a1x+a2x^2)*cos(x)+(b0+b1x+b2x^2)*sin(x)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 02.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du hast ja nicht vier linear unabhängige Lösungen , sondern nur 2, deshalb noch die Lösungen [mm] x*e^{ix} [/mm] und [mm] x*e^{-ix} [/mm] (setz ein und du siehst , dass es L sind.
2. gesucht sind i.A. reelle Lösungen. jede Linearkombination von Lösungen ist wieder Lösung, deshalb kannst du aus der Linearkombination der 4 komplexen Lg wieder 4 linear unabhängige reelle Lösungen herstellen.
Den [mm] x^2 [/mm] Teil der inh solltest du einzeln betrachten, oder noch [mm] Ax^2+B [/mm] zu deinem Ansatz zufügen.
da [mm] (a_0-a:1x)*sinx [/mm] schon Lösung der hom. ist, kannst du den Teil direkt weglassen,( du weisst ja, dass er 0 ergibt)
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
Okay den ersten Teil habe ich verstanden.
Meinst du beim 2.Teil
Das ich zuerst 2 Ansätze habe [mm] (x^2;sin(x)) [/mm] und diese dann zusammenfüge?
Also wenn ich sie mir getrennt ansschaue müssten die Ansätze so aussehen:
sin(x) --> [mm] \beta [/mm] = 1 [mm] \alpha+i \beta [/mm] = i = [mm] \lambda [/mm] 1,2 --> v=2-2+1 =1
(a0+a1x)*cos(x)+(b0+b1x)*sin(x)
[mm] x^2 [/mm] --> m=2 --> v=0
[mm] a0+a1x+a2x^2
[/mm]
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Hallo racy90,
> Okay den ersten Teil habe ich verstanden.
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> Meinst du beim 2.Teil
>
> Das ich zuerst 2 Ansätze habe [mm](x^2;sin(x))[/mm] und diese dann
> zusammenfüge?
>
Genau.
> Also wenn ich sie mir getrennt ansschaue müssten die
> Ansätze so aussehen:
>
> sin(x) --> [mm]\beta[/mm] = 1 [mm]\alpha+i \beta[/mm] = i = [mm]\lambda[/mm] 1,2 -->
> v=2-2+1 =1
>
> (a0+a1x)*cos(x)+(b0+b1x)*sin(x)
>
Das ist nicht der richtige Ansatz.
Der normale Ansatz lautet: [mm]c*\sin\left(x\right)+d*\cos\left(x\right), \ c,d \in \IR[/mm]
Da aber die Nullstellen i und -i im charakteristischen Polynom
die Vielfachheit 2 haben, ist der normale Ansatz mit [mm]x^{2}[/mm]
zu multiplizieren.
Daher der Ansatz:
[mm]x^{2}*\left( \ c*\sin\left(x\right)+d*\cos\left(x\right) \ \right) [/mm]
> [mm]x^2[/mm] --> m=2 --> v=0
>
> [mm]a0+a1x+a2x^2[/mm]
[mm]a_0+a_1 x+a_2 x^2[/mm]
Für das Polynom ist das der richtige Ansatz.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 So 02.03.2014 | | Autor: | racy90 |
$ [mm] c\cdot{}\sin\left(x\right)+d\cdot{}\cos\left(x\right), [/mm] \ c,d [mm] \in \IR [/mm] $
Diesen Ansatz hätte ich zuerst auch hinschreiben wollen aber dann hab ich mir die Bedingung [mm] \alpha+i \beta [/mm] angeschaut und für sin(x) = [mm] \beta [/mm] =1 und [mm] \alpha [/mm] und m=0. Somit wäre dann v=a(i)-g(i)+1--> 2-2+1=1
[mm] yp(x)=(a0+a1x+a2x^2+a(m+v)*x^{m+v})*e^{\alpha *x}*cos(\beta x)+(b0+b1x+b2x^2+b(m+v)*x^{m+v})*e^{\alpha *x}*sin(\beta [/mm] x)
Somit hätte ich ja einen a1 und b1 Term ebenfalls im Ansatz.Wo liegt hier mein Denkfehler? Außer das ich das [mm] x^2 [/mm] vergessen hatte.
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Hallo racy90,
> [mm]c\cdot{}\sin\left(x\right)+d\cdot{}\cos\left(x\right), \ c,d \in \IR[/mm]
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> Diesen Ansatz hätte ich zuerst auch hinschreiben wollen
> aber dann hab ich mir die Bedingung [mm]\alpha+i \beta[/mm]
> angeschaut und für sin(x) = [mm]\beta[/mm] =1 und [mm]\alpha[/mm] und m=0.
> Somit wäre dann v=a(i)-g(i)+1--> 2-2+1=1
>
> [mm]yp(x)=(a0+a1x+a2x^2+a(m+v)*x^{m+v})*e^{\alpha *x}*cos(\beta x)+(b0+b1x+b2x^2+b(m+v)*x^{m+v})*e^{\alpha *x}*sin(\beta[/mm]
> x)
>
> Somit hätte ich ja einen a1 und b1 Term ebenfalls im
> Ansatz.Wo liegt hier mein Denkfehler? Außer das ich das
> [mm]x^2[/mm] vergessen hatte.
>
[mm]x*\sin\left(x\right)[/mm] und [mm]x*\cos\left(x\right)[/mm] sind Lösungen der homogenen DGL.
Gruss
MathePower
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