DGL 2. Ord. konst koeffizient < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Wie bekomme ich bei einer lineare DGL 2. Ordnung wie z.B. y''(t)+y'(t)-2y(t)=0 mit y(0)=0 das Anfangswertproblem gelöst? ich komme bis zu dem Punkt an dem ich dann erhalte: y(t)= [mm] A*e^t [/mm] + B*e^(-2t) . kann aber dies nicht weiter auflösen,...weil ich ja nur einen Wert für y(0) aber nicht z.B. y'(0) gegeben habe. Vielleicht über die eulerformeln??? Danek!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
hier wirst du keine eindeutige lösung erhalten, da du für lineare differentialgleichungen zweiter ordnung stets einen zwei-dimensionalen lösungsraum erhälst, du also zwei werte benötigst um die lösung eindeutig zu bestimmen.
setze z.b. [m] A = 1 [/m] und [m] B = - 1 [/m] oder [m] A = 100 [/m] und [m] B = -100 [/m] und du wirst sehen, dass beide funktionen alle von dir gestelleten bedingungen erfüllen. wenn du eine eindeutige lösung willst benötigst du also mehr informationen.
grüße
andreas
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Habe nochmal unser Skript konsultiert. Wie kann ich mir dann erklären dass wir das Problem über folgenden Ansatz: y(t) = A*cos(t) + B*sin(2t) und y(0) = 0 noch weiter vereinfachen konnten und für A =0 erhielten....bzw. wie komme ich überhaupt von y(t) = [mm] A*e^t [/mm] + B*e^(-2*t) auf das oben angegebene?
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Hallo,
in dem Skript steht wohl eine andere DGL.
Der Ansatz y(t)=A cos(t) + B sin(t) läßt auf eine DGL zweiter Ordnung schließen:
y''+y = 0
Macht man den Ansatz [mm]y(t)\; = \;e^{rt} [/mm] und setzt dies in die DGL y''+y=0 ein, so führt das auf die Gleichung
[mm]r^2 \; + \;1\; = \;0[/mm]
welche die Lösungen
[mm]r\; = \; \pm i[/mm]
hat.
Hieraus ergibt sich der Ansatz y(t) = A cos(t) + B sin(t).
Gruss
MathePower
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