DGL-System- Eigenwerte komplex < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mo 02.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgenden Beispiel:
Zunächst habe ich die Eigenwerte bestimmt:
[mm] \vmat{ 1-\lambda & 4 \\ -1 & 1-\lambda } [/mm] = [mm] (1-\lambda)^{2}+4 [/mm] = [mm] \lambda^{2}-2\lambda+5 [/mm] = 0
[mm] \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] 1\pm\wurzel{-4}
[/mm]
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2i
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 1-2i
Nun sollen noch die Eigenvektoren bestimmt werden:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2i : [mm] \vmat{ -2i & 4 \\ -1 & -2i}
[/mm]
Nun verstehe ich allerdings nicht, wie man auf den ersten Eigenvektor von
[mm] x_{1}=\vektor{-2i \\ 1} [/mm] kommt!?
Habt ihr da einen Tipp für mich?
Vielen Dank
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Mo 02.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu folgenden Beispiel:
>
> Zunächst habe ich die Eigenwerte bestimmt:
>
> [mm]\vmat{ 1-\lambda & 4 \\ -1 & 1-\lambda }[/mm] =
> [mm](1-\lambda)^{2}+4[/mm] = [mm]\lambda^{2}-2\lambda+5[/mm] = 0
>
> [mm]\lambda_{1,2}[/mm] = [mm]1\pm\wurzel{-4}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2i
> [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1-2i
>
> Nun sollen noch die Eigenvektoren bestimmt werden:
>
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2i : [mm]\vmat{ -2i & 4 \\ -1 & -2i}[/mm]
>
> Nun verstehe ich allerdings nicht, wie man auf den ersten
> Eigenvektor von
>
> [mm]x_{1}=\vektor{-2i \\ 1}[/mm] kommt!?
>
> Habt ihr da einen Tipp für mich?
Sei [mm] $x_1=\vektor{a \\ b}$ [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_1.
[/mm]
Also gilt
-2i a+4b=0 und -a-2ib =0.
Die Lösungsmenge diese LGS ist
[mm] \{t\vektor{-2i \\ 1}: t \in \IC\}.
[/mm]
>
> Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 02.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Fred,
vielen Dank für die Antwort!
Es klappt bei mir aber nicht, dass von die genannte LGS -2i a+4b=0 und -1-2ib =0 zu lösen bzw. mir fehlt ein Ansatz für den ersten Schritt!
Kannst du mir da nochmal helfen ?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mo 02.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für die Antwort!
>
> Es klappt bei mir aber nicht, dass von die genannte LGS -2i
> a+4b=0 und -1-2ib =0 zu lösen bzw. mir fehlt ein Ansatz
> für den ersten Schritt!
Die zweite Gleichung lautet -a-2ib=0.
Wir haben also das LGS
-2ia+4b=0
-a-2ib=0.
Multipliziert man die 2. Gleichung mit 2i, so bekommt man die erste.
Wir müssen also a und b so bestimmen, dass
a=-2ib
und [mm] \vektor{a \\ b} \ne \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist.
Jede(!) Wahl von [mm] \vektor{-2ib \\ b} [/mm] mit b [mm] \ne [/mm] 0 leistet das Gewünschte !
>
> Kannst du mir da nochmal helfen ?
>
> Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Di 03.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Fred,
hier einmal mein Vorgehen:
[mm] \pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -a & -2ib | 0 }
[/mm]
Dann habe ich II mit 2i multipliziert
[mm] \pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -2ia & 4b | 0 }
[/mm]
II - I
[mm] \pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ 0 & 0 | 0 }
[/mm]
Somit ergibt sich in II für b = 1
Nun habe ich noch I
-2ia+4b = 0
-2ia+4 = 0
-2ia = -4
a = [mm] \bruch{-4}{-2i}
[/mm]
a = 2i
Und somit komme ich dann auf den ersten Eigenvektor von [mm] \vektor{2i \\ 1}
[/mm]
Laut Musterlösung soll sich aber für den Eigenwert [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1+2i der Eigenvektor [mm] \vektor{-2i \\ 1} [/mm] und für den zweiten Eigenwert [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1-2i der Eigenvektor [mm] \vektor{2i \\ 1} [/mm] ergeben - ich habe es aktuell genau anderes herum. Wo liegt da mein Fehler?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Di 03.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> hier einmal mein Vorgehen:
>
> [mm]\pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -a & -2ib | 0 }[/mm]
>
> Dann habe ich II mit 2i multipliziert
>
> [mm]\pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ -2ia & 4b | 0 }[/mm]
>
> II - I
>
> [mm]\pmat{ -2ia & 4b | 0 \\ 0 & 0 | 0 }[/mm]
>
> Somit ergibt sich in II für b = 1
>
> Nun habe ich noch I
>
> -2ia+4b = 0
> -2ia+4 = 0
> -2ia = -4
> a = [mm]\bruch{-4}{-2i}[/mm]
> a = 2i
Nein. Sondern (ganz ausführlich):
$a= [mm] \bruch{-4}{-2i}= \bruch{4}{2i}= \bruch{2}{i}= \bruch{2i}{i^2}= \bruch{2i}{-1}=-2i$.
[/mm]
>
> Und somit komme ich dann auf den ersten Eigenvektor von
> [mm]\vektor{2i \\ 1}[/mm]
>
>
> Laut Musterlösung soll sich aber für den Eigenwert
> [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1+2i der Eigenvektor [mm]\vektor{-2i \\ 1}[/mm] und
> für den zweiten Eigenwert [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1-2i der
> Eigenvektor [mm]\vektor{2i \\ 1}[/mm] ergeben - ich habe es aktuell
> genau anderes herum. Wo liegt da mein Fehler?
>
> Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mi 04.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Erklärung!
|
|
|
|
