Beweis: reele Folge/Teilfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass jede reelle Folge [mm] (X_{n}),n\ge1 [/mm] eine monotone Teilfolge besitzt.
Darin heißt [mm] (Y_{n}),n\ge1 [/mm] eine Teilfolge von [mm] (X_{n}),n\ge1, [/mm] wenn eine streng monoton wachsende Folge
[mm] (k_{n}) [/mm] natürlicher Zahlen existiert mit [mm] y_{n} [/mm] = [mm] x_{k} [/mm] für alle n.
Hinweis: Man nenne einen Index k Spitze, wenn für alle l > k gilt [mm] x_{k}\ge x_{l}. [/mm]
Dann unterscheide man die Fälle, in denen unendlich viele Spitzen existieren von denen, wo es nur endlich viele Spitzen gibt. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe als Hausaufgabe und brüte schon wirklich lange darüber.
Ich versteh die Aufgabenstellung einigermaßen und weiss auch was eine Teilfolge ist usw.
Aber wie ich jetzt mit Hilfe von "k Spitze..." die Existenz einer Teilfolge zu jeder reelen Folge beweisen soll ist mir leider schleierhaft.
Danke für eure Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Fr 17.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo verachris
Eine Spitze einer reellen Zahlenfolge ist ein Index k so dass [mm] $x_k$ [/mm] grösser oder gleich jeder Zahl der Zahlenfolge mit grösserem Index l ist.
Gibt es nur endliche viele Spitzen, sei z.b. k=1000 die grösste Spitze, dann gibt es also zu jedem k grösser als 1000 ein Index l grösser als k so, dass [mm] $x_l$ [/mm] grösser als [mm] $x_k$. [/mm] Dieser Index l muss existieren, sonst wäre ja das [mm] $x_k$ [/mm] eine Spitze im Widerspruch dazu, dass 1000 die grösste Spitze ist.
D.h. doch, dass ab [mm] $x_{1000}$ [/mm] zu jeder Zahl der Folge eine noch grössere gibt, dann lässt sich daraus eine streng monoton wachsende Teilfolge konstruieren.
Gibt es hingegen unendlich viele Spitzen, so ist die Teilfolge mit den Spitzen als Indizes eine monoton fallende Teilfolge, denn die Spitzen werden immer natürlich immer kleiner.
mfG Moudi
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