Beweis konv. Folge beschränkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:08 So 24.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend!
Ich bin mir bei folgendem Beweis nicht ganz sicher und verstehe ihn nicht so ganz.
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Jede konvergente Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] ist beschränkt.
Beweis: Sei lim [mm] a_{n} [/mm] = a. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N.
Daraus folgt
[mm] |a_{n}| \le [/mm] |a| + [mm] |a_{n} [/mm] - a| [mm] \le [/mm] |a| + 1 für n [mm] \ge [/mm] N.
Man setze M := [mm] max(|a_{0}|, |a_{1}|, [/mm] ..., [mm] |a_{N-1}|, [/mm] |a| + 1). Dann gilt
[mm] |a_{n}| \le [/mm] M [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
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Zuerst einmal bin ich mir bei der Anwendung der Dreiecksungleichung nicht ganz sicher. Kann ich es konkreter auch so schreiben:
[mm] |a_{n}| [/mm] = [mm] |a_{n} [/mm] + a - a| = |(a) + [mm] (a_{n} [/mm] - a)| [mm] \le [/mm] |a| + [mm] |a_{n} [/mm] - a| ?
Und müsste die folgende Abschätzung |a| + [mm] |a_{n} [/mm] - a| [mm] \le [/mm] |a| + 1 nicht strenger |a| + [mm] |a_{n} [/mm] - a| < |a| + 1 heißen, da von der Abschätzung [mm] |a_{n} [/mm] - a| < 1 ausgegangen wird?
Viele Grüße
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 So 24.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend!
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> Ich bin mir bei folgendem Beweis nicht ganz sicher und
> verstehe ihn nicht so ganz.
>
> ---
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> Jede konvergente Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] ist beschränkt.
>
> Beweis: Sei lim [mm]a_{n}[/mm] = a. Dann gibt es ein N [mm]\in \IN,[/mm] so
> dass
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| < 1 [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N.
>
> Daraus folgt
>
> [mm]|a_{n}| \le[/mm] |a| + [mm]|a_{n}[/mm] - a| [mm]\le[/mm] |a| + 1 für n [mm]\ge[/mm] N.
>
> Man setze M := [mm]max(|a_{0}|, |a_{1}|,[/mm] ..., [mm]|a_{N-1}|,[/mm] |a| +
> 1). Dann gilt
>
> [mm]|a_{n}| \le[/mm] M [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> ---
>
> Zuerst einmal bin ich mir bei der Anwendung der
> Dreiecksungleichung nicht ganz sicher. Kann ich es
> konkreter auch so schreiben:
> [mm]|a_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n}[/mm] + a - a| = |(a) + [mm](a_{n}[/mm] - a)| [mm]\le[/mm] |a| +
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| ?
ja
> Und müsste die folgende Abschätzung |a| + [mm]|a_{n}[/mm] - a|
> [mm]\le[/mm] |a| + 1 nicht strenger |a| + [mm]|a_{n}[/mm] - a| < |a| + 1
> heißen, da von der Abschätzung [mm]|a_{n}[/mm] - a| < 1
> ausgegangen wird?
ja,aber das ist nicht relevant
Freed
>
> Viele Grüße
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 24.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend,
danke für deine Antwort!
Noch eine kurze Verständnisfragen habe ich:
1) Durch die Ungleichung [mm] |a_{n}| \le [/mm] |a| + 1 habe ich eine Abschätzung für die Beschränktheit aller Folgenglieder ab [mm] a_{N}. [/mm] Da es nun aber sein kann, dass die Beträge der Folgenglieder [mm] a_{0} [/mm] bis [mm] a_{N-1} [/mm] über diese Schranke hinausgehen. Deshalb wähle ich als Schranke das Maximum aus den Beträgen aller Folgenglieder und |a| + 1. Falls also die Beträge aller Folgenglieder kleiner sind als die Schranke, gilt auf jeden Fall |a| + 1 als Schranke.
Einen schönen Abend noch,
X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 24.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend,
>
> danke für deine Antwort!
>
> Noch eine kurze Verständnisfragen habe ich:
>
> 1) Durch die Ungleichung [mm]|a_{n}| \le[/mm] |a| + 1 habe ich eine
> Abschätzung für die Beschränktheit aller Folgenglieder
> ab [mm]a_{N}.[/mm] Da es nun aber sein kann, dass die Beträge der
> Folgenglieder [mm]a_{0}[/mm] bis [mm]a_{N-1}[/mm] über diese Schranke
> hinausgehen. Deshalb wähle ich als Schranke das Maximum
> aus den Beträgen aller Folgenglieder und |a| + 1. Falls
> also die Beträge aller Folgenglieder kleiner sind als die
> Schranke, gilt auf jeden Fall |a| + 1 als Schranke.
ja,so ist es
fred
>
> Einen schönen Abend noch,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Mo 25.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Alles klaro, dann habe ich das nun verstanden und bedanke mich für die Antwort!
Eine letzte kurz Frage noch ... könnte man anstatt der Abschätzung < 1 auch jede andere positive reelle Zahl [mm] \not= [/mm] 0 wählen?
Gruß X3nion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 25.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Alles klaro, dann habe ich das nun verstanden und bedanke
> mich für die Antwort!
>
> Eine letzte kurz Frage noch ... könnte man anstatt der
> Abschätzung < 1 auch jede andere positive reelle Zahl
> [mm]\not=[/mm] 0 wählen?
Ja
FRED
>
> Gruß X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mo 25.04.2016 | | Autor: | X3nion |
Alles klar, danke für deine Antworten FRED!
Gruß X3nion
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