Beweis Nullfolge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 10.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ich soll mit der vollständigen Induktion beweisen, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist:
[mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2}{3^n}$
[/mm]
Habe erstmal ein paar Folgeglieder ausgerechnet:
[mm] $a_1=1/3$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] = 4/9$
[mm] $a_3=1/3$
[/mm]
[mm] $a_4=16/81$
[/mm]
[mm] $a_5=25/243$
[/mm]
daran sieht man, dass ab n=3 der Zähler stärker wächst als der Nenner.
Daher muss gelten, dass [mm] $3^n>n^2$ [/mm] für [mm] $n\ge [/mm] 3$
Also muss das auch für n+1 gelten:
[mm] $3^{n+1}>(n+1)^2$
[/mm]
[mm] $3^n*3>n^2+2n+1$
[/mm]
So nun müsste ich ja die Ausgangsbedingung praktisch einsetzen, aber des geht ja nun nicht so wirklich wegen dem größer/kleiner Zeichen.
Wie geht man dann nun vor?
Danke für eure Hilfe!
Gruß ONeill
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Servus,
Du kannst dein [mm] 3^{n+1}=3*3^n [/mm] umschreiben. Eine Ungleichung für [mm] 3^n [/mm] hast du. Also kannst du sagen, dass [mm] 3*3^n>3*n^2 [/mm] ist. Wenn du dann weist, dass 3*x=x+x+x und du das so schreibst, und dann mal [mm] (n+1)^2 [/mm] berecnest, kannst du dann dein [mm] 3*3^n [/mm] abschätzen gegenüber [mm] (n+1)^2, [/mm] und dann bist du fertig.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 10.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Kroni!
Danke für deine Antwort, leider hab ich grade nen Brett vorm Kopf und ich komm noch nicht ganz weiter, weil ich noch net verstehe, was du mir damit genau sagen willst
>
> Du kannst dein [mm]3^{n+1}=3*3^n[/mm] umschreiben.
Ok soweit ist alles klar.
> Eine Ungleichung
> für [mm]3^n[/mm] hast du. Also kannst du sagen, dass [mm]3*3^n>3*n^2[/mm]
> ist.
Der Gedanke ist auch klar, allerdings weis ich damit grade nichts anzufangen.
> Wenn du dann weist, dass 3*x=x+x+x und du das so
> schreibst, und dann mal [mm](n+1)^2[/mm] berecnest, kannst du dann
> dein [mm]3*3^n[/mm] abschätzen gegenüber [mm](n+1)^2,[/mm] und dann bist du
> fertig.
Hier kann ich leider nicht mehr folgen.
Kannst du es mir vielleicht noch einmal in etwas anderen Worten erklären? Danke!
Lg ONeill
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
Also das mit der ersten Ungliech [mm] 3*3^n>3*n^2 [/mm] ist dir noch klar? Das folgt ja direkt aus der Induktionsvorraussetzung.
Dann musst du ja zeigen, dass [mm] 3n^2>(n+1)^2
[/mm]
Das kannst du so machen, indem du mal [mm] 3*n^2 [/mm] als [mm] n^2+n^2+n^2 [/mm] schreibst, und mal [mm] (n+1)^2 [/mm] ausrechnest, und das dann mal vergleichst. Dann sieht man eg. direkt, dass [mm] 3n^2>(n+1)^2 [/mm] ist...
Also...einfach mal [mm] 3n^2 [/mm] als Summe hinschreiben und [mm] (n+1)^2 [/mm] ausrechnen und dann vergleichen, dann sieht mans sofort....
Liebe Grüße,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 13.12.2007 | | Autor: | ONeill |
Hallo Kroni!
Vielen Dank für die helfen und noch nen schönen Tag,
ONeill
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