Bestimmung von Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 07.12.2010 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Beispiel:
[mm] \phi(x,y)=x^2-y^2 [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Bestimmung von Funktionen mehrer Veränderlicher.
In unserer Vorlesung wurde uns kurz zusammengefasst folgende Schritte gezeigt:
1. Die Funktion ein mal nach x und einmal nach y Ableiten.
Die Ableitungen gleich 0 setzen und somit den/die Punkte bestimmen
2. Hessematrix erstellen (durch Ableiten) und Determinanten bilden.
Mit deren Hilfe sagen, ob es sich um einen Sattelpunkt oder ein Extremum bzw Minimum an dieser Stelle handelt.
Ich habe mir aufgeschrieben:
Ist die Hessematrix an dem Punkt negativ (positiv) definiert so besitzt die Funktion [mm] $\phi(x,y)$ [/mm] ein lokales Minimum (Maximum).
Sind alle Determinanten dann ist die Hessematrix positiv definiert.
Findet ein Vorzeichenwechsel statt, so ist sie negativ definiert.
Dazu haben wir ein Beispiel (siehe Aufgabenstellung).
Nach dieser Anleitung gehe ich also so vor:
[mm] $\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial x}=2x$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial y}=-2y$
[/mm]
Also ist [mm] $\(x=y=0$.
[/mm]
Für die Hessematrix leite ich nochmal ab und erhalte:
[mm] $\pmat{ 2 & 0 \\ 0 & -2 }$
[/mm]
Dann wären meine Determinanten:
[mm] $\(d_1=2$
[/mm]
[mm] $\(d_2=-4$
[/mm]
Ich hätte also ein Vorzeichenwechsel, somit wäre an diesem Punkt ein Maximum.
Dann habe ich in einem Buch nachgelesen, und da stand:
[mm] $\(D=\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}*\bruch{\partial^2f}{\partialy^2}-(\bruch{\partial^2f}{\partial x\partial y^2})$
[/mm]
(Das Entspricht doch meinem [mm] $\(d_2$ [/mm] von oben?)
Und weiter:
"Für einen Sattelpunkt gilt: [mm] $\(D<0$ [/mm] [...]"
(Wann es ein Maximum bzw Minimum ist, wir auch erklärt)
D.h. in dem Fall wäre doch mein D<0 und man hätte einen Sattelpunkt an diesem Punkt.
Bin mir jetzt irgendwie überhaupt nicht sicher, ob ich einfach falsch abgeschrieben habe oder ich irgendwas nicht richtig verstehe..
Wenn ich mir das Bild angucke würde ich aber auch eher sagen, dass es ein Sattelpunkt ist
( [mm] http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2-y^2 [/mm] )
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Hallo nhard,
> Beispiel:
> [mm]\phi(x,y)=x^2-y^2[/mm]
> Hallo,
> ich habe eine Frage zur Bestimmung von Funktionen mehrer
> Veränderlicher.
>
> In unserer Vorlesung wurde uns kurz zusammengefasst
> folgende Schritte gezeigt:
>
> 1. Die Funktion ein mal nach x und einmal nach y Ableiten.
> Die Ableitungen gleich 0 setzen und somit den/die Punkte
> bestimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die sog. stationären Punkte
>
> 2. Hessematrix erstellen (durch Ableiten) und Determinanten
> bilden.
>
> Mit deren Hilfe sagen, ob es sich um einen Sattelpunkt oder
> ein Extremum bzw Minimum an dieser Stelle handelt.
>
> Ich habe mir aufgeschrieben:
> Ist die Hessematrix an dem Punkt negativ (positiv)
> definiert
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Das heißt positiv/negativ definit !!
> so besitzt die Funktion [mm]\phi(x,y)[/mm] ein lokales
> Minimum (Maximum).
umgekehrt!
>
> Sind alle Determinanten dann ist die Hessematrix positiv
> definiert.
Hää?? Das ist kein Satz!
> Findet ein Vorzeichenwechsel statt, so ist sie negativ
> definiert.
Das reicht nicht! Die ungeraden (Haupt)Minoren müssen negatives, die geraden positives VZ haben
Neben dem Hauptminorenkrit. gibt es auch den Weg, die Definitheit der Hessematrix über ihre Eigenwerte zu bestimmen!
Siehe mal auf Wikipedia unter Definitheit!
>
> Dazu haben wir ein Beispiel (siehe Aufgabenstellung).
>
> Nach dieser Anleitung gehe ich also so vor:
>
> [mm]\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial x}=2x[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial\phi(x,y)}{\partial y}=-2y[/mm]
> Also ist
> [mm]\(x=y=0[/mm].
>
> Für die Hessematrix leite ich nochmal ab und erhalte:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 \\
0 & -2 }[/mm]
>
> Dann wären meine Determinanten:
>
> [mm]\(d_1=2[/mm]
> [mm]\(d_2=-4[/mm]
> Ich hätte also ein Vorzeichenwechsel, somit wäre an
> diesem Punkt ein Maximum. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ein Sattelpunkt!
>
>
> Dann habe ich in einem Buch nachgelesen, und da stand:
>
> [mm]\(D=\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}*\bruch{\partial^2f}{\partialy^2}-(\bruch{\partial^2f}{\partial x\partial y^2})[/mm]
>
> (Das Entspricht doch meinem [mm]\(d_2[/mm] von oben?)
>
> Und weiter:
>
> "Für einen Sattelpunkt gilt: [mm]\(D<0[/mm] [...]"
> (Wann es ein Maximum bzw Minimum ist, wir auch erklärt)
>
> D.h. in dem Fall wäre doch mein D<0 und man hätte einen
> Sattelpunkt an diesem Punkt.
>
> Bin mir jetzt irgendwie überhaupt nicht sicher, ob ich
> einfach falsch abgeschrieben habe oder ich irgendwas nicht
> richtig verstehe..
>
> Wenn ich mir das Bild angucke würde ich aber auch eher
> sagen, dass es ein Sattelpunkt ist
Ja!
> ( [mm]http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2-y^2[/mm] )
>
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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