Berechnung vom Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Do 04.05.2006 | | Autor: | kluh |
Hallo Leute,
ich habe Schwierigkeiten, den folgenden Erwartungswert zu berechnen:
Zunächst sei X ~ [mm] \mathcal{N}(0,\sigma^2).
[/mm]
Berechnet werden soll: [mm] E\left[\left(\bruch{X^2}{\theta}-1\right)^2\right]
[/mm]
Für mich ist klar: [mm] E\left[\left(\bruch{X^2}{\theta}-1\right)^2\right] [/mm] = [mm] E\left[\frac{X^4}{\theta^2}\right] [/mm] - [mm] 2E\left[\frac{X^2}{\theta}\right] [/mm] + 1
(Binomische Formel und Linearität des Erwartungswertes)
Aber weiter komm ich leider nicht...
Wäre super, wenn mir jemand Tipps oder sogar eine Lösung sagen könnte.
Gruß Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> ich habe Schwierigkeiten, den folgenden Erwartungswert zu
> berechnen:
>
> Zunächst sei X ~ [mm]\mathcal{N}(0,\sigma^2).[/mm]
>
> Berechnet werden soll:
> [mm]E\left[\left(\bruch{X^2}{\theta}-1\right)^2\right][/mm]
>
> Für mich ist klar:
> [mm]E\left[\left(\bruch{X^2}{\theta}-1\right)^2\right][/mm] =
> [mm]E\left[\frac{X^4}{\theta^2}\right][/mm] -
> [mm]2E\left[\frac{X^2}{\theta}\right][/mm] + 1
> (Binomische Formel und Linearität des Erwartungswertes)
So. Wegen der Linearitaet kannst du auch noch [mm] $\frac{1}{\theta^2}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\theta}$ [/mm] herausziehen. Bleiben also $E [mm] X^2$ [/mm] und $E [mm] X^4$.
[/mm]
Das erste ($E [mm] X^2$) [/mm] ist nicht schwer: Es ist ja $Var(X) = E [mm] X^2 [/mm] - (E [mm] X)^2$. [/mm] Und da du $Var(X)$ und $E(X)$ kennst (wegen $X [mm] \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$) [/mm] kannst du somit $E [mm] X^2$ [/mm] berechnen.
Verbleibt $E [mm] X^4$, [/mm] das sogenannte vierte Moment von $X$. Wie das fuer die Normalverteilung aussieht, findest du ![[]](/images/popup.gif) hier. (Und denk dran, Wikipedia ist manchmal nicht die vertrauenswuerdigste Quelle, also schau das lieber auch nochmal irgendwo anders nach...)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Do 04.05.2006 | | Autor: | kluh |
Hallo Felix,
auf [mm] E[X^2] [/mm] = Var(X) + [mm] E[X]^2 [/mm] hätte ich ja auch mal selber kommen können. Manchmal fallen einem die einfachsten Sachen nicht mehr ein.
Aber nochmal zu dem vierten Moment. Auf wikipedia ist zwar eine schöne Tabelle, aber wie kann man den Ausdruck [mm] E[X^4] [/mm] = [mm] \mu^4 [/mm] + [mm] 6\mu^{2}\sigma^2 [/mm] + [mm] 3\sigma^4 [/mm] denn explizit berechnen?
SG Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Aber nochmal zu dem vierten Moment. Auf wikipedia ist zwar
> eine schöne Tabelle, aber wie kann man den Ausdruck [mm]E[X^4][/mm]
> = [mm]\mu^4[/mm] + [mm]6\mu^{2}\sigma^2[/mm] + [mm]3\sigma^4[/mm] denn explizit
> berechnen?
Also erstmal rechnest du das vierte Moment $E [mm] X^4$ [/mm] einer Standardnormalverteilten ZV $X$ aus: Es ist [mm]E X^4 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^4 e^{-x^2} \; dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^3 \left(-e^{-x^2}\right)' \; dx = \left. \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (-x^3 e^{-x^2}) \right|_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} 3 x^2 e^{-x^2} \; dx[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(partielle Integration).
Nun ist $\left. \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (-x^3 e^{-x^2}) \right|_{-\infty}^{+\infty} = 0$ (das $e^{-x^2}$ buegelt alles polynomielle platt), und $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} 3 x^2 e^{-x^2} \; dx = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} \; dx = 3 E(X^2) = 3 Var(X) = 3$.
So. Ist nun $Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, so kannst du $Y = \sigma X + \mu$ setzen mit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$. (Es ist $E(Y) = \mu$ und $Var(Y) = \sigma^2$, womit wirklich $Y \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ ist.)
Damit ist $E Y^4 = E (\sigma X + \mu)^4$, und wenn du das ausmultiplizierst kannst du mit Hilfe der Momente $E X^4 = 3$, $E X^3 = 0$ (das Integral ist aus Symmetriegruenden 0), $E X^2 = 1$ und $E X = 0$ das ausrechnen.
MuPAD sagt $E Y^4 = \mu^4 + 4 \mu^3 \sigma E X + \sigma^4 E X^4 + 4 \mu \sigma^3 E X^3 + 6 \mu^2 \sigma^2 E X^2 = \mu^4 + 3 \sigma^4 + 6 \mu^2 \sigma^2$. Also genau die Formel die du bei Wiki gefunden hast 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Fr 05.05.2006 | | Autor: | kluh |
Jetzt hab ich das verstanden!
Vielen Dank!
SG Stefan
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