Berechnung Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Corn |
| Aufgabe | Die Zufallsvariablen [mm] X_1,...,X_n [/mm] seien iid gleichverteilt auf (0,1)
(was iid bedeutet, siehe meine Rechnung)
Berechnen Sie die Verteilungsfunktionen von [mm] Y_1:=min(X_1,...,X_n) [/mm] sowie [mm] Y_2:= max(X_1,..,X_n) [/mm] |
Hi
Hier zunächst die Rechnung der Aufgabe, wobei mir grundlegendes nicht klar ist
[mm] P(Y_1 [/mm] > t) =...
Kann mir jemand sagen, warum wir hier Y > t suchen?
[mm] P(Y_1 [/mm] > t) = [mm] P(X_1 [/mm] > [mm] t,...,X_n>t)
[/mm]
wegen iid gilt jetzt
[mm] =P(X_1>t)^n
[/mm]
= [mm] (1-t)^n
[/mm]
Warum kommt da [mm] (1-t)^n [/mm] heraus?
Für [mm] Y_2
[/mm]
[mm] P(Y_2 \le [/mm] t) =...
Warum ist das hier Y [mm] \le [/mm] t? Das muß etwas damit zu tun haben, daß wir sonst nicht mehr in der U(0,1) Verteilung sind? Vermute ich mal so
Wegen iid
= [mm] P(Y_2\le [/mm] t) = [mm] t^n
[/mm]
Wieso ist das hier [mm] t^n?
[/mm]
Danke schon mal für eure Zeit
Corn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 06.02.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Corn,
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> [mm]P(Y_1[/mm] > t) =...
> Kann mir jemand sagen, warum wir hier Y > t suchen?
Weil das einfacher zu rechnen ist. Spaeter erhalten wir [mm] $P(Y_1\le t)=1-(1-t)^n$. [/mm]
>
> [mm]P(Y_1[/mm] > t) = [mm]P(X_1[/mm] > [mm]t,...,X_n>t)[/mm]
>
> wegen iid gilt jetzt
>
> [mm]=P(X_1>t)^n[/mm]
>
> = [mm](1-t)^n[/mm]
>
> Warum kommt da [mm](1-t)^n[/mm] heraus?
Weil die Verteilungsfunktion von [mm] $X_1$ [/mm] gegeben ist durch [mm] $P(X_1\le [/mm] z)=z$
fuer $0<z<1$.
>
> Für [mm]Y_2[/mm]
>
> [mm]P(Y_2 \le[/mm] t) =...
> Warum ist das hier Y [mm]\le[/mm] t? Das muß etwas damit zu tun
> haben, daß wir sonst nicht mehr in der U(0,1) Verteilung
> sind? Vermute ich mal so
Nein.
>
> Wegen iid
> = [mm]P(Y_2\le[/mm] t) = [mm]t^n[/mm]
>
> Wieso ist das hier [mm]t^n?[/mm]
Hier ist $ [mm] P(Y_2 \le [/mm] t) = [mm] P(X_1 \le t,...,X_n \le t)=P(X_1\le t)^n [/mm] $
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Do 07.02.2008 | | Autor: | Corn |
Hallo.
> > [mm]P(Y_1[/mm] > t) =...
> > Kann mir jemand sagen, warum wir hier Y > t suchen?
>
> Weil das einfacher zu rechnen ist. Spaeter erhalten wir
> [mm]P(Y_1\le t)=1-(1-t)^n[/mm].
> >
> > [mm]P(Y_1[/mm] > t) = [mm]P(X_1[/mm] > [mm]t,...,X_n>t)[/mm]
> >
> > wegen iid gilt jetzt
> >
> > [mm]=P(X_1>t)^n[/mm]
> >
> > = [mm](1-t)^n[/mm]
> >
> > Warum kommt da [mm](1-t)^n[/mm] heraus?
>
> Weil die Verteilungsfunktion von [mm]X_1[/mm] gegeben ist durch
> [mm]P(X_1\le z)=z[/mm]
> fuer [mm]0
Aber es ist doch [mm] P(Y_1 [/mm] > t) = 1 - [mm] P(Y_1\le [/mm] t)
Und für [mm] P(Y_1 \le [/mm] t) gilt doch jetzt nach der Verteilungsfunktion [mm] X_1, [/mm] dass [mm] P(Y_1 \le [/mm] t) = t
Warum ist meine Überlegung falsch?
>
> >
> > Für [mm]Y_2[/mm]
> >
> > [mm]P(Y_2 \le[/mm] t) =...
> > Warum ist das hier Y [mm]\le[/mm] t? Das muß etwas damit zu tun
> > haben, daß wir sonst nicht mehr in der U(0,1) Verteilung
> > sind? Vermute ich mal so
>
> Nein.
Warum denn dann? Ich dachte, daß wir nach [mm] Y_2 [/mm] kleiner gleich t suchen, weil man sonst aus der U(0,1) Verteilung herausfällt.
> >
> > Wegen iid
> > = [mm]P(Y_2\le[/mm] t) = [mm]t^n[/mm]
> >
> > Wieso ist das hier [mm]t^n?[/mm]
>
> Hier ist [mm]P(Y_2 \le t) = P(X_1 \le t,...,X_n \le t)=P(X_1\le t)^n[/mm]
Hier bin ich mir gerade auch noch nicht so ganz sicher, weil ich den Zusammenhang zur [mm] Y_1 [/mm] nicht verstanden habe, und warum wir am Anfang [mm] Y_1 [/mm] > t nehmen. Das mit dem einfacherer Rechnen war zwar eine ganz witzige Antwort und die werde ich mir bei der Aufgabe auch so merken, im Endeffekt habe ich das Prinzip damit aber leider nicht verstanden.
Danke Dir
Corn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Do 07.02.2008 | | Autor: | Blech |
> Hier bin ich mir gerade auch noch nicht so ganz sicher,
> weil ich den Zusammenhang zur [mm]Y_1[/mm] nicht verstanden habe,
> und warum wir am Anfang [mm]Y_1[/mm] > t nehmen. Das mit dem
> einfacherer Rechnen war zwar eine ganz witzige Antwort und
> die werde ich mir bei der Aufgabe auch so merken, im
> Endeffekt habe ich das Prinzip damit aber leider nicht
> verstanden.
Dann überleg Dir halt mal selber, wie Du's rechnen würdest, dann siehst Du gleich warum man's so macht.
[mm] $P(\min_i\{X_i\}\le [/mm] k)$ ist die Wahrscheinlichkeit, daß *mindestens 1* der [mm] $X_i$ [/mm] kleiner k ist, d.h. Du mußt die Wahrscheinlichkeiten berechnen, daß genau 1 kleiner ist, daß genau 2 kleiner sind, daß genau 3 kleiner sind, daß gen.... Mach das mal für n=20 und wir sehen uns dann morgen wieder =)
Im Vergleich dazu ist [mm] $P(\min_i\{X_i\}> [/mm] k)$ die Wahrscheinlichkeit, daß *kein* [mm] $X_i$ [/mm] kleiner k, was wegen iid viel einfacher geht [mm] $=P(X_1>k)^n$
[/mm]
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