Analytische Geometrie < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:48 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Mato |
Hallo!
In dem Forum "Abitur-Vorbereitung" unter "Analytische Geometrie / Vektorrechnung" gibt es die Aufgabe 1a und dazu habe ich eine Frage:
Die Koordinaten des Punktes C sind (3/4/-5).
Für die Spitze S habe ich die Koordinaten (2/3/-1).
Arthur, jedoch, ein Mitglied, der auch die Aufgabe gerechnet hat, hat andere Koordinaten. Außerdem verstehe ich seinen Lösungsweg nicht.
Meiner lautet so:
Der Fußpunkt sei der Punkt M. Die beiden Diagonalen AC und BD schneiden sich und der Schnittpunkt ist M. Auf den Schnittpunkt bin ich gekommen, indem ich zwei Geradengleichungen aufgestellt und diese gleichgesetzt habe:
M lautet (2/3/-1).
Da [mm] \overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{MS} [/mm] gilt, gilt [mm] \overrightarrow{AM}\overrightarrow{MS}*=0. [/mm]
[mm] \overrightarrow{AM}= \vec{m}- \vec{a}= \vektor{1 \\ 1 \\ -4}
[/mm]
Übrigens ist [mm] \vec{m}=\vektor{ 2 \\ 3 \\ -1} [/mm] und [mm] \vec{a}=\vektor{ 1 \\ 2 \\ 3}.
[/mm]
Ist meine Rechnung falsch?
Danke im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Fr 15.07.2005 | | Autor: | statler |
Hallo, die Rechnung ist soweit OK, aber noch nicht fertig. Wenn man das Kreuzprodukt kennt, geht es relativ einfach. Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf den Faktoren und hat die Länge des von den Faktoren gebildeten Parallelogramms. Dieses Resultat (ein Vektor) kann man dann erst auf die richtige Länge bringen (hier ganz einfach) und anschließend an M in beide Richtungen anhängen. Das gibt die beiden Spitzen S und S'. Viel Erfolg!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Disap |
> Hallo!
Moin.
> In dem Forum "Abitur-Vorbereitung" unter "Analytische
> Geometrie / Vektorrechnung" gibt es die Aufgabe 1a und dazu
(In Bezugnahme auf den Artikel Abitur-Aufgaben, BW, LK, 1993: Übungsaufgabe von Stefan im Forum Lineare Algebra / Vektorrechnung)
> habe ich eine Frage:
> Die Koordinaten des Punktes C sind (3/4/-5).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für die Spitze S habe ich die Koordinaten (2/3/-1).
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hast'e dich wohl falsch ausgedrückt, denn wie du etwas weiter unten schon richtig schreibst, ist der Punkt M (2|3|-1).
> Arthur, jedoch, ein Mitglied, der auch die Aufgabe
> gerechnet hat, hat andere Koordinaten. Außerdem verstehe
> ich seinen Lösungsweg nicht.
Ja, also die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben sind da etwas konfus, weil seine Lösung bzgl. den Punkten S und S' auch falsch ist.
> Meiner lautet so:
> Der Fußpunkt sei der Punkt M. Die beiden Diagonalen AC und
> BD schneiden sich und der Schnittpunkt ist M. Auf den
> Schnittpunkt bin ich gekommen, indem ich zwei
> Geradengleichungen aufgestellt und diese gleichgesetzt
> habe:
> M lautet (2/3/-1).
> Da [mm]\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{MS}[/mm] gilt, gilt
> [mm]\overrightarrow{AM}\overrightarrow{MS}*=0.[/mm]
> [mm]\overrightarrow{AM}= \vec{m}- \vec{a}= \vektor{1 \\ 1 \\ -4}[/mm]
>
> Übrigens ist [mm]\vec{m}=\vektor{ 2 \\ 3 \\ -1}[/mm] und
> [mm]\vec{a}=\vektor{ 1 \\ 2 \\ 3}.[/mm]
> Ist meine Rechnung falsch?
Was wolltest du denn damit berechnen? Etwa den Punkt S bzw. den Punkt S' (was ja auch die ursprüngliche Frage war). Dann solltest du dir noch einmal gründlich die Antwort von Marc durchlesen.
Oder als Alternative
Wir wissen: die Grundfläche der Pyramide bildet eine Ebene. Vom Mittelpunkt des "Quadrats" oder der Grundfläche der Pyramide gibt es die Höhe sechs. Die Höhe wird wohl die Eigenschaft haben, dass sie senkrecht zur Ebene steht, d.h. der Normalenvektor der Ebene
E: [mm] \vec{x}= \overrightarrow{0A}+r \overrightarrow{AB} [/mm] + s [mm] \overrightarrow{AD}.
[/mm]
Bildet man nun das  Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren, ermittelt man den sogenannten N-Vektor:
[mm] \vec{n}= \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}
[/mm]
Zunächst einmal könnte man die Höhe(ngerade) mit der Geradengleichung
[mm] g:\vec{x}= \overrightarrow{0M}+u\vec{n} [/mm]
darstellen.
Um nun auf den Punkt S oder S' zu kommen, geht man 6 Einheiten dieser Gerade entlang, indem man erst einmal den Betrag vom n-Vektor bildet.
[mm] |\vec{n}| [/mm] = ... = in meinem Fall 36.
Damit er die Länge sechs bekommt würde ich in meinem Fall den Vorfaktor [mm] \bruch{1}{6} [/mm] beifügen.
[mm] \bruch{1}{6}\vec{n}
[/mm]
Um auf den Punkt S zu kommen geht man nun vom Punkt M die entsprechende Länge entlang.
Als Vektor ausgedrückt:
[mm] \overrightarrow{0S}=\overrightarrow{0M}+\bruch{1}{6}\vec{n}
[/mm]
(Anmerkung: Dieser Bruch [mm] \bruch{1}{6} [/mm] bezieht sich jetzt nur auf meine Rechnung, die hier allerdings nicht ganz steht und soll dir nur ein Beispiel sein.)
Dann kommt man auf einen Punkt, den Marc ebenfalls genannt hatte: S(6|7|1).
S' wäre dann
[mm] \overrightarrow{0S'}=\overrightarrow{0M}-\bruch{1}{6}\vec{n}
[/mm]
Um das zu verdeutlichen, kannst du dir ja vorstellen, dass man eine Pyramide einmal auf den Kopf stellen kann. Sieht auch dementsprechend lustig aus.
> Danke im voraus!
>
Habe ich die Frage getroffen? Wenn nicht, musst du wohl noch weiter Fragen stellen.
Übrigens bist du mit der Abitursvorbereitung ja früh dran...
Grüße Disap
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