Ableitungen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Funktion f : [mm] \IR\to \IR [/mm] heißt gerade bzw. ungerade, wenn für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt
f(−x) = f(x) bzw. f(−x) = −f(x). Zeige, dass die Ableitung einer differenzierbaren geraden
Funktion ungerade und die einer ungeraden Funktion gerade ist. |
Ich verstehe es irgendwie nicht, habe wikipedia dazu durchgelesen...also, was differenzierbar ist und wozu die Ableitung dient, verstehe ich.
ABER wie ich das zu zeigen habe, verstehe ich wiederum nicht.
HIIILLLFFEEE, BITTE, BITTE, BITTE
|
|
| |
|
Hallo.
Die Funktion hat erst einmal die allgemeine Form
[mm] f(x)=y=x^n
[/mm]
Eine Funkion, die "gerade" ist, hat die Eigenschaft, dass f(x)=f(-x)
das bedeutet, n ist gerade.
Nehme als Bsp: [mm] f(x)=x^2=(-x)^2=f(-x)
[/mm]
wenn man eine (negative) Zahl hoch einer gerade Zahl nimmt, wird diese immer positiv.
Sei also [mm] f(x)=x^n [/mm] und n gerade (also n:=2m (m sei beliebig aus [mm] \IN)
[/mm]
[mm] f(x)=x^{2m}
[/mm]
[mm] f'(x)=2m*x^{2m-1}
[/mm]
Da nun in der Potenz von x 2m-1 steht, und dieses für alle m ungerade ist, folgt, das die Ableitung einer "geraden" Funktion immer "ungerade" ist.
Analog für n ungerade und f(-x)=-f(x)
Bsp [mm] f(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-f(x)
[/mm]
usw.
probiere es mal und melde dich, wenn du noch eine Frage hast.
Machs gut Röby
|
|
|
| |
|
Hi! Danke erstmal, das was du mir geschrieben hast habe ich nachvollziehen können! Ich probiers dann mal für n ungerade und f(-x)=-f(x) mit deinem Beispiel: [mm] f(-x)=(-x)^3=-(x)^3=-f(x)
[/mm]
Alsooo:
Wenn man eine negative Zahl hoch einer ungeraden Zahl rechnet, bleibt jene Zahl negativ.
Sei also [mm] f(x)=(-x)^n [/mm] und n ungerade ;also n:=3m mit [mm] m\in\IN, [/mm] dann gilt:
f(x)=(-x)^3m
f'(x)= 3m* (-x)^3m-1
Da nun in der Potenz von x 3m-1 steht, und dieses für alle m gerade ist, folgt dass die Ableitung einer ungeraden Funktion immer gerade ist.
So, feddich. Sag, dass es richtig ist ;o)
|
|
|
| |
|
Schön, schön, das ist alles richtig, aber außer Polynomen gibt es ja noch andere Funktionen wie z.B.
f(x) = [mm] \bruch{1}{x^2+1} [/mm] oder f(x)= tan(sin(x). Da geht das dann nicht mehr so einfach...
Du darfst alo nur die angegebene Definition verwenden. Ich sehe 2 Wege: entweder du schreibst noch mal den Differenzenquotienten für f(x) und f(-x) hin und vergleichst beide, oder du benutzt irgendwie die Kettenregel und vergleichst f'(x) mit f'(-x).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:37 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Monsterzicke |
Hi!
Danke, dass du dir das angeschaut hast!
Aber irgendwie verwirrt mich deine Aufgabe ein wenig....
Ich versteh nur Bahnhof, sorry! Vllt erklärst du es mir nochmal, so wie für ganz Dumme am besten ;o)
|
|
|
| |
|
Hey!
Danke erstmal. Aber leider verstehe ich nicht, was du meinst, bzw. wie das gehen soll!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Sa 20.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Nehmen wir mal eine ungerade Funktion.
Also gilt ja:
f(-x)=-f(x)
Jetzt mal ableiten:
f(-x) ist per Kettenregel abgeleitet:
f'((-x))*(-1)=-f'(-x)
und -(f(x)) abgeleitet ist ja -(f'(x))=-f'(x)
Also gilt:
-f'(-x)=-f'(x)
[mm] \gdw [/mm] f'(-x)=f'(x)
Die Ableitung ist jetzt also gerade.
Den anderen Fall überlasse ich dann dir.
Marius
|
|
|
| |
|
> Hi! Danke erstmal, das was du mir geschrieben hast habe ich
> nachvollziehen können! Ich probiers dann mal für n ungerade
> und f(-x)=-f(x) mit deinem Beispiel:
> [mm]f(-x)=(-x)^3=-(x)^3=-f(x)[/mm]
> Alsooo:
> Wenn man eine negative Zahl hoch einer ungeraden Zahl
> rechnet, bleibt jene Zahl negativ.
> Sei also [mm]f(x)=(-x)^n[/mm] und n ungerade ;also n:=3m mit
> [mm]m\in\IN,[/mm] dann gilt:
DAS STIMMT SO NICHT:
z.B. m=2 n=3m=3*2=6 gerade
wenn du eine ungerade Zahl darstellen willst, schreibe n=2m+1
denn 2m ist immer gerade und durch die plus 1 immer 2m+1 ungerade
[mm] f(x)=(-x)^{2m+1}
[/mm]
[mm] f'(x)=2m*(-x)^{2m}
[/mm]
(Warum hast du (-x) genommen??? Aber ist ja egal, denn für [mm] f(x)=x^{2m+1} [/mm] gilt das natürlich auch [mm] f'(x)=2m*x^{2m}
[/mm]
> f(x)=(-x)^3m
> f'(x)= 3m* (-x)^3m-1
> Da nun in der Potenz von x 3m-1 steht, und dieses für alle
> m gerade ist, folgt dass die Ableitung einer ungeraden
> Funktion immer gerade ist.
> So, feddich. Sag, dass es richtig ist ;o)
NICHT GANZ, aber jetzt.
Tschüß und ein schönes Wochenende wünscht Röby
|
|
|
| |
|
Vielen lieben Dank! Wünsche dir auch ein schönes WE!!
|
|
|
|
