Laplace in Zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Paivren |
Guten Abend,
mal eine kurze Frage zum Laplace-Operator:
In kartesischen Koordinaten erhält man ihn, wenn man den Nabla-Operator skalar mit sich selbst multipliziert.
In Zylinderkoordinaten funktioniert das nicht:
[mm] \nabla=\bruch{\partial}{\partial r}e_{r}+ \bruch{1}{r} \bruch{\partial}{\partial \phi}e_{\phi} [/mm] + [mm] \bruch{\partial}{\partial z}e_{z}
[/mm]
Wenn man den Skalar mit sich selbst multipliziert, kommt nicht der Laplace-Operator heraus. Mir ist bekannt, wie man ihn ausrechnet (durch Transformationen der Ableitungen nach x,y und z auf die neuen Koordinaten), aber wieso klappt dieser kleine "Trick" hier nicht?
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:44 Mi 17.05.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Guten Abend,
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> mal eine kurze Frage zum Laplace-Operator:
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> In kartesischen Koordinaten erhält man ihn, wenn man den
> Nabla-Operator skalar mit sich selbst multipliziert.
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> In Zylinderkoordinaten funktioniert das nicht:
> [mm]\nabla=\bruch{\partial}{\partial r}e_{r}+ \bruch{1}{r} \bruch{\partial}{\partial \phi}e_{\phi}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial}{\partial z}e_{z}[/mm]
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> Wenn man den Skalar mit sich selbst multipliziert, kommt
> nicht der Laplace-Operator heraus. Mir ist bekannt, wie man
> ihn ausrechnet (durch Transformationen der Ableitungen nach
> x,y und z auf die neuen Koordinaten), aber wieso klappt
> dieser kleine "Trick" hier nicht?
>
>
> Gruß
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> Paivren
Huhu,
ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden :)
Naja, ich wuerde den Laplaceoperator nicht als Quadrat definieren (was auch falsch waere). Stattdessen kann man den Laplaceoperator definieren als "Laplace=Div Grad".
In kartesischen Koordinaten ist nun Grad = [mm] $\vec{\nabla}$ [/mm] und Div = [mm] $\vec{\nabla}\cdot$, [/mm] daher ist die Darstellung von Laplace als Quadrat von Nabla moeglich. In anderen Koordinatensystemen gelten diese Darstellungen fuer Grad und Div eben nicht!
Gruss,
Chris
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:05 Fr 19.05.2017 | | Autor: | Paivren |
Hallo Chris,
vielen Dank für deine Antwort!
Hier gleich eine weitere Frage zu Kugelkoordinaten:
Die Koordinaten eines Punkts im [mm] IR^{3} [/mm] sind ja gerade die Vorfaktoren vor den Basisvektoren. In kartesischen Koordinaten:
a=(x, y, z) = [mm] x*e_{x} [/mm] + [mm] y*e_{y} [/mm] + [mm] z*e_{z}.
[/mm]
x,y,z nennt man die Koordinaten.
Transformiere ich das in Kugelkoordinaten, so stellt man fest, dass man schreiben muss: [mm] a=r*e_{r}. [/mm] Die anderen Einheitsvektoren braucht man gar nicht. Dennoch werden [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] ja zur Beschreibung benötigt, weil [mm] e_{r} [/mm] von ihnen abhängt.
Aber man kann eben nicht schreiben a= [mm] (r,\phi,\theta) [/mm] = [mm] re_{r} [/mm] + [mm] \phi e_{\phi} [/mm] + [mm] \theta e_{\theta}.
[/mm]
Offenbar handelt es sich bei Kugelkoordinaten nicht um Koordinaten im Sinne der linearen Algebra, oder wo ist hier der Haken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 21.05.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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